Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x + 3y + z + 2 = 0$ và $(Q):x + 3y + z + 5 = 0$.

a) Chứng minh rằng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc $(P)$, tính khoảng cách từ điểm đó đến $(Q)$. Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Câu hỏi trong đề: 23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = (1;3;1),\overrightarrow {{n_Q}} = (1;3;1)$. Vì $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} $ và $2 \ne 5$. Do đó $({\rm{P}})$ và $({\rm{Q}})$ song song với nhau.

b) Lấy điểm ${\rm{M}}(0;0; - 2) \in ({\rm{P}})$.

Khi đó khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Q)$ là: $d(M,(Q)) = \frac{{| - 2 + 5|}}{{\sqrt {1 + {3^2} + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt {11} }}$

Do đó $d(M,(Q)) = d((P),(Q)) = \frac{3}{{\sqrt {11} }}$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là $S(5;0;1),A(1;1;1)$, $B(2;3;4),C(5;2;3)$.

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1;2;3),\overrightarrow {AC} = (4;1;2)$, suy ra $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7)$.

Phương trình của $(ABC)$ là: $1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0$ hay $x + 10y - 7z - 4 = 0$.

Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm $S$ đến $(ABC)$.

Ta có: $SH = d(S,(ABC)) = \frac{{|1.5 + 10 \cdot 0 + ( - 7) \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{6}{{5\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}$.

Câu 2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 $, chiều cao bằng 2a và $O$ là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Xem đáp án

Lời giải

Dựa vào hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có $O(0;0;0),S(0;0;2a)$, $A( - a;0;0),B(0;a;0)$ và $C(a;0;0)$.

Khi đó $(SAB)$ có phương trình là $\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{2a}} = 1$ hay $ - 2x + 2y + z - 2a = 0$.

Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{{| - 2 \cdot a - 2a|}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{4a}}{3}$.

Câu 3