Bài tập Một số bài toán hàm hợp liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số của hàm lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có −1 ≤ cos5x ≤ 1 $\iff$ −1 ≤ 2cos5x + 1 ≤ 3.

Đặt t = 2cos5x + 1 với x ∈ [−2; 3] thì t ∈ [−1; 3].

Khi đó, y = f(2cos5x + 1) = f(t) với t ∈ [−1; 3].

Suy ra: M = 5; m = 0 $\Rightarrow$ M – 2m = 5.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số g(x) = x³ – 3x² – 1; g'(x) = 3x² – 6x.

Có g'(x) = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = 2 (đều thuộc (−1; 3)).

Ta có f(−1) = |g(−1)| = 5; f(0) = |g(0)| = 1; f(2) = |g(2)| = 5; f(3) = |g(3)| = 1.

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \,1;3} \right]} f\left( x \right) = 5\).

Đáp án đúng là: D

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Ta có: g'(x) = −2f'(−2x + 3).

Có g'(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x + 3 = - 3\\ - 2x + 3 = 1\\ - 2x + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\\x = 0\end{array} \right.\)

Ta có x = 1 là nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên của hàm số g(x).

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [0; 3] là g(0).

Đáp án đúng là: B

Đặt t = x² – 2x. Ta có \[x \in \left[ { - \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right] \Leftrightarrow - \frac{5}{2} \le x - 1 \le \frac{5}{2} \Leftrightarrow 0 \le {\left( {x - 1} \right)^2} \le \frac{{25}}{4}\]

\[ \Leftrightarrow - 1 \le {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \le \frac{{21}}{4}\] nên \[t \in \left[ { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]\].

Xét hàm số \[y = f\left( t \right),t \in \left[ { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]\]

Từ bảng biến thiên suy ra:

\(m = \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2,M = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{{21}}{4}} \right) = 5 \Rightarrow \frac{M}{m} > 2\).

Đáp án đúng là: A

Đặt \(t = \sqrt {2x - {x^2}} \), ta có \(0 \le t \le 1\).

Hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) trở thành y = f(t) với 0 ≤ t ≤ 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra M = −3; m = −5.

Vậy 2M – m = −1.

Đáp án đúng là: C

Đặt t = 1 – cosx $\Rightarrow$ t ∈ [0; 2].

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 2;\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = - \frac{3}{2} \Rightarrow M + n = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;{\rm{ 4}}} \right]} f\left( x \right) = 2\] khi x = 2 và \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;{\rm{ 4}}} \right]} f\left( x \right) = - 3\] khi x = −1.

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;{\rm{ 4}}} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 3\] khi x = −1.

Đáp án đúng là: A

Vẽ đồ thị của hàm số y = |f(x)| bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = f(x) ở phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = f(x) ở phía đưới trục hoành qua trục hoành, xóa bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành.

Từ đó suy ra phần đồ thị của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [−1; 1].

Dựa vào phần đồ thị đó, ta được M = 3; m = 0 nên T = 2019.