Bài tập GTLN, GTNN của hàm số lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/32

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ trên đoạn $[0; 4]$ .

Lời giải

$m a x_{[0; 4]} y = y (4) = 195; m i n_{[0; 4]} y = y (\sqrt{2}) = - 1$

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 1); y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{2}$ (vì $x \in [0; 4]$ ); $y (0) = 3; y (4) = 195; y (\sqrt{2}) = - 1$

Do đó: $m a x_{[0; 4]} y = y (4) = 195; m i n_{[0; 4]} y = y (\sqrt{2}) = - 1$ .

Câu 2/32

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \cos x$ trên đoạn $[0; 2 π]$ .

Trả lời: $m a x_{[0; 2 π]} y = y (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}; m i n_{[0; 2 π]} y = y (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$ .

Lời giải

Ta có: $y' = \cos x - \sin x; y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow x = \frac{π}{4}$ hoặc $x = \frac{5 π}{4}$ (vì $x \in [0; 2 π]$ ); $y (0) = 1; y (2 π) = 1; y (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}; y (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Do đó:

m a x_{[0; 2 π]} y = y (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}; m i n_{[0; 2 π]} y = y (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}

Câu 3/32

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ trên đoạn $[0; 5]$ .

Trả lời: $m a x_{[0; 5]} f (x) = 10, m i n_{[0; 5]} f (x) = - 22$ .

Lời giải

Ta có $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$ .

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 k h o n g \in (0; 5) \\ x = 3 \in (0; 5) \end{cases}$

Ta có $f (0) = 5; f (5) = 10; f (3) = - 22$ .

Vậy $m a x_{[0; 5]} f (x) = 10, m i n_{[0; 5]} f (x) = - 22$ .

Câu 4/32

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ trên đoạn [0;3]
b) $g (x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; 5)$
c) $h (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Trả lời:

a) $m i n_{[0; 3]} f (x) = f (0) = 1$ và $m a x_{[0; 3]} f (x) = f (3) = 10$

b) $m i n_{(0; 5)} f (x) = f (1) = 2$ và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng $(0; 5)$
c) $m i n_{D} f (x) = f (- 1)$ và $m a x_{D} f (x) = f (1) = 1$

Lời giải

a) Xét $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ trên đoạn [0;3]

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ x = 1 \end{cases}$

Bảng biến thiên:

(Trả lời ngắn) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) f(x)=2x^3-9x^2+12x+1 trên đoạn [0;3] b) g(x)=x+1/x trên khoảng (0;5) c) h(x)=x√(2-x^2 ) Trả lời: a)min_([0;3]) f(x)=f(0)=1 và max_([0;3]) f(x)=f(3)=10 b)min_((0;5)) f(x)=f(1)=2 và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5) c)min_D f(x)=f(-1)=-1 và max_D f(x)=f(1)=1 (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $m i n_{[0; 3]} f (x) = f (3) = 10$ và
b) Xét $g (x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; 5)$

$g' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = - 1 (l o a i) \end{cases}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $m i n_{(0; 5)} f (x) = f (1) = 2$ và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng $(0; 5)$
c) Xét $h (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Tập xác định: $D = [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$

$h' (x) = \sqrt{2 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Tập xác định mới: $D_{1} = (- \sqrt{2}; \sqrt{2})$

$h' (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = - 1 \end{cases}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $m i n_{D} f (x) = f (- 1) = - 1$ và $m a x_{D} f (x) = f (1) = 1$

Câu 5/32

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;3]
b) $y = - x^{3} + 24 x^{2} - 180 x + 400$ trên đoạn [3;11]
c) $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn $[3; 7]$
d) $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; \frac{7 π}{12}]$

Trả lời:

a) $m a x_{[- 1; 3]} y = y (- 1) = 12$ và $m i n_{[- 1; 3]} y = y (2) = - 15$
b) $m a x_{[3; 11]} y = y (3) = 49$ và $m i n_{[3; 11]} y = y (6) = - 32$
c) $m a x_{[3; 7]} y = y (3) = 7$ và $m i n_{[3; 7]} y = y (7) = 3$
d) $m a x_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = y (\frac{π}{4}) = 1$ và $m i n_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = y (\frac{7 π}{12}) = - \frac{1}{2}$

Lời giải

a) Xét $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;3]

$y' = 3 x^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ x = - 2 (l o a i) \end{cases}$

Bảng biến thiên:

(Trả lời ngắn) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y=x^3-12x+1 trên đoạn [-1;3] b) y=-x^3+24x^2-180x+400 trên đoạn [3;11] c) y=(2x+1)/(x-2) trên đoạn [3;7] d) y=sin⁡2x trên đoạn [0;7π/12] Trả lời: a) max_([-1;3]) y=y(-1)=12 và min_([-1;3]) y=y(2)=-15 b) max_([3;11]) y=y(3)=49 và min_([3;11]) y=y(6)=-32 c) max_([3;7]) y=y(3)=7 và min_([3;7]) y=y(7)=3 d) max_[0;7π/12] y=y(π/4)=1 và min_[0;7π/12] y=y(7π/12)=-1/2 (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $m a x_{[- 1; 3]} y = y (2) = - 15$ và
b) Xét $y = - x^{3}_24 x^{2} - 180 x + 400$ trên đoạn [3;11]

$y' = - 3 x^{2} + 48 x - 180 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 10 \\ x = 6 \end{cases}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $m a x_{[3; 11]} y = y (3) = 49$ và $m i n_{[3; 11]} y = y (6) = - 32$
c) Xét $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn [3;7]

$y' = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}} < 0 \forall x \in [3; 7]$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $m a x_{[3; 7]} y = y (3) = 7$ và $m i n_{[3; 7]} y = y (7) = 3$
d) Xét $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; \frac{7 π}{12}]$

$y' = 2 \cos s 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$

Ta có: $x \in [0; \frac{7 π}{12}] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{4}$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $m a x_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = (\frac{π}{4}) = 1$ và $m i n_{[0; \frac{7 π}{12}]} = y (\frac{7 π}{12}) = - \frac{1}{2}$

Câu 6/32

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5

Trả lời:

a) $m a x_{[1; 6]} f (x) = f (1) = 6$ và $m i n_{[1; 6]} f (x) = f (5) = 1$
b) $m a x_{[- 3; 3]} g (x) = g (- 3) = g (- 1) = 1$ và $m i n_{[- 1; 3]} g (x) = g (1) = 7$

Lời giải

a) Từ đồ thị ta thấy

m a x_{[1; 6]} f (x) = f (1) = 6

và

m i n_{[1; 6]} f (x) = f (5) = 1

b) Từ đồ thị, ta thấy

m a x_{[- 3; 3]} g (x) = g (- 3) = g (- 1) = 1

và

m i n_{[- 1; 3]} g (x) = g (1) = 7

Câu 7/32

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ trên đoạn [1;4]

Trả lời: $m i n_{[1; 4]} g (x) = g (2) = 3$ và $m a x_{[1; 4]} g (x) = g (1) = 5$

Lời giải

Xét $g (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ trên đoạn $[1; 4]$

$g' (x) = 1 - \frac{8}{x^{3}} = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Bảng biến thiên:

(Trả lời ngắn) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x)=x+4/x^2 trên đoạn [1;4] Trả lời: min_([1;4]) g(x)=g(2)=3 và max_([1;4]) g(x)=g(1)=5 (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $m i n_{[1; 4]} g (x) = g (2) = 3$ và $m a x_{[1; 4]} g (x) = g (1) = 5$

Câu 8/32

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y = x - 2 + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Trả lời: $m i n_{(0; + \infty)} y = y (1) = 0$ ; hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Lời giải

Ta có: $y' = 1 - \frac{1}{x^{2}}; y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ ).

Tính các giới hạn:

$\lim_{x \to 0^{+}} y = \lim_{x \to 0^{+}} (x - 2 + \frac{1}{x}) = + \infty; \lim_{x \mapsto + \infty} y = \lim_{x \mapsto + \infty} (x - 2 + \frac{1}{x}) = + \infty$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $(0; + \infty)$ :

(Trả lời ngắn) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y=x-2+1/x trên khoảng (0;+∞). Trả lời: min_((0;+∞)) y=y(1)=0; hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (0;+∞). (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên, ta được: $m i n_{(0; + \infty)} y = y (1) = 0$ ; hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Câu 9/32