Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng (có lời giải) - Đề 1

w Thay tọa độ điểm \(B\left( {4;\,2;\,1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.4 - 2.1 + 2 = 0 \Leftrightarrow 12 = 0\) (Vô lí) \( \Rightarrow \) Điểm \(B \notin \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,2;\,4} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.1 - 2.4 + 2 = 0 \Leftrightarrow  - 3 = 0\) (Vô lí) \( \Rightarrow \) Điểm \(A \notin \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(D\left( {2;\,1;\,4} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.2 - 2.4 + 2 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (Thỏa mãn) \( \Rightarrow \) Điểm \(D \in \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(C\left( {2;\,4;\, - 1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa điểm \(A\) và trục \(Oz\).

\[Oz\] đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \[\vec u = \left( {0;0;1} \right)\].

Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 4z - 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;4} \right)\).

Do \[\left( Q \right)\]song song với \[\left( P \right)\] nên \[\left( Q \right)\]có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;4} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), suy ra \(I\left( {1;\,1;\,2} \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\)

\(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(I\left( {1;\,1;\,2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;\,2;\,2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

\[\left( P \right):2x - y + 3z - 1 = 0\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\].

\(\left( Q \right):y = 0\) có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)\].

Do mặt phẳng \(\left( R \right)\) vuông góc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{\left( R \right)}} = \left[ {{{\vec n}_{\left( P \right)}},\,{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right]\) \( \Rightarrow {\vec n_{\left( R \right)}} = \left( { - 3;\,0;\,2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 2; - 3} \right)\) suy ra \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;0} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \)\( \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right)\) sẽ nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

Hiển nhiên \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {2;3;5} \right)\) nên ta có phương trình của \(\left( {ABC} \right)\) là