Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;4;9} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt 3 tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,{\rm{ }}B,\,C\) (khác \(O\)) sao cho \[OA + OB + OC\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách \(d\) từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) (kết quả là tròn đến hàng phần trăm).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {1;\;2;\;4} \right)\)

\[MA{\,^2} + MB{\,^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + IA{\,^2} + MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + IB{\,^2}\]

                    \( = 2.MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} ) + IA{\,^2} + IB{\,^2} = 2.MI{\,^2} + IA{\,^2} + IB{\,^2}\)

\(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(2.MI{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(\left( \alpha  \right):x - 2y + z + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;\; - 2;\;1} \right)\)

Do \(M \in \left( \alpha  \right)\) nên \(M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha  \right)\\\overrightarrow {IM}  = k.\overrightarrow n \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 2{y_0} + {z_0} + 5 = 0\\{x_0} - 1 = k\\{y_0} - 2 =  - 2k\\{z_0} - 4 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} = 4\\{z_0} = 3\\k =  - 1\end{array} \right.\)

a) Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;2} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( {ABC} \right)\] là \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;3} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[ - 1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) + 3z = 0\] hay \[x + 2y - 3z + 3 = 0\]

b) Vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2;1} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là: \[ - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 1z = 0\] hay \[x - 2y - z - 5 = 0\]

c) Ta có trung điểm của đoạn \[AC\] là \[M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( \beta  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \,\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;2} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] là: \[0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\] hay \[6y + 4z - 1 = 0\]

d) Ta có \[\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right);\,\overrightarrow {OC}  = \left( {1;1;2} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( \gamma  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {0; - 2;1} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[0x - 2y + 1z = 0\] hay \[2y - z = 0\]