Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;\;2;\;3} \right)\), \[B\left( {1;\;2;\;5} \right)\] và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + z + 5 = 0\). Biết điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm \(M\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
4
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {1;\;2;\;4} \right)\)
\[MA{\,^2} + MB{\,^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + IA{\,^2} + MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + IB{\,^2}\]
\( = 2.MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} ) + IA{\,^2} + IB{\,^2} = 2.MI{\,^2} + IA{\,^2} + IB{\,^2}\)
\(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(2.MI{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.
\(\left( \alpha \right):x - 2y + z + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;\; - 2;\;1} \right)\)
Do \(M \in \left( \alpha \right)\) nên \(M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right)\\\overrightarrow {IM} = k.\overrightarrow n \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 2{y_0} + {z_0} + 5 = 0\\{x_0} - 1 = k\\{y_0} - 2 = - 2k\\{z_0} - 4 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} = 4\\{z_0} = 3\\k = - 1\end{array} \right.\)
Vậy tung độ của điểm \(M\) là \(4\).Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[x + 2y - 3z - 3 = 0\].
Đúng
Sai
b) Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] qua \[A\] và vuông góc với \[BC\] là \[x - 2y - z - 5 = 0\].
Đúng
Sai
c) Phương trình mặt phẳng trung trực \[\left( \beta \right)\] của đoạn \[AC\] là \[6y + 4z - 1 = 0\].
Đúng
Sai
d) Phương trình mặt phẳng \[\left( \gamma \right)\] chứa trục \[Ox\]và điểm \[C\] là \[2y + z = 0\].
Đúng
Sai
Lời giải
|
a) |
b) |
c) |
d) |
|
SAI |
ĐÚNG |
ĐÚNG |
SAI |
a) Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right);\,\overrightarrow {AC} = \left( {0;3;2} \right)\]
Vectơ pháp tuyến của \[\left( {ABC} \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;3} \right)\].
PT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[ - 1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) + 3z = 0\] hay \[x + 2y - 3z + 3 = 0\]
b) Vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha \right)\] là \[\overrightarrow n = \,\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;2;1} \right)\].
PT mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là: \[ - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 1z = 0\] hay \[x - 2y - z - 5 = 0\]
c) Ta có trung điểm của đoạn \[AC\] là \[M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\]
Vectơ pháp tuyến của \[\left( \beta \right)\] là \[\overrightarrow n = \,\overrightarrow {AC} = \left( {0;3;2} \right)\].
PT mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] là: \[0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\] hay \[6y + 4z - 1 = 0\]
d) Ta có \[\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right);\,\overrightarrow {OC} = \left( {1;1;2} \right)\]
Vectơ pháp tuyến của \[\left( \gamma \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {0; - 2;1} \right)\].
PT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[0x - 2y + 1z = 0\] hay \[2y - z = 0\]
Lời giải
Do \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha \right)\] nên \[\left( P \right)\] có phương trình: \[2x + 3y + z + m = 0\], điều kiện \[m \ne 1\].
Khi đó: \[\left( P \right)\] cắt các tia \[{\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z\] lần lượt tại các điểm là: \[A\left( { - \frac{m}{2}\,;0\,;0} \right)\], \[B\left( {0\,; - \frac{m}{3}\,;0} \right)\], \[C\left( {0\,;0\,; - \,m} \right)\], với \[m < 0\].
Thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\] nên \[\frac{1}{6}OA\,.\,OB\,.\,OC = 6\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\left| { - \frac{m}{2}} \right|.\left| { - \frac{m}{3}} \right|.\left| { - \,m} \right| = 6 \Leftrightarrow - \frac{{{m^3}}}{{36}} = 6\] (do \[m < 0\])
\[ \Leftrightarrow {m^3} = - \,216 \Leftrightarrow m = - \,6\] (thỏa mãn).
Ta có: \[\left( P \right):2x + 3y + z - 6 = 0\] \[ \Rightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\,\left| {\,2.0 + 3.0 + 0 - 6\,} \right|\,}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {14} }} \approx 1,60\].Câu 3
A. \(B\left( {4;\,2;\,1} \right)\).
B. \(A\left( {1;\,2;\,4} \right)\).
C. \(D\left( {2;\,1;\,4} \right)\).
D. \(C\left( {2;\,4;\, - 1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z - 1 = 0\).
B. \(x - y - z - 2 = 0\).
C. \(4x + 2y + 2z + 4 = 0\).
D. \(2x + y + z - 2 = 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Tích có hướng của hai veccto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) là vecto \(\overrightarrow k \).
Đúng
Sai
b) \(\left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow i } \right] = \left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\).
Đúng
Sai
c) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow u } \right] = \left( {6\,;\,1\,;0} \right)\).
Đúng
Sai
d) \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {2\,;\,4\,; - 3} \right)\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[3x - y + 2z - 4 = 0\].
B. \(x + y - 5 = 0\).
C. \(y - z + 2 = 0\).
D. \(2x + y - 7 = 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập