Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;\;2;\;3} \right)\), \[B\left( {1;\;2;\;5} \right)\] và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2y + z + 5 = 0\). Biết điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) sao cho \(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm \(M\).

Do \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha  \right)\] nên \[\left( P \right)\] có phương trình: \[2x + 3y + z + m = 0\], điều kiện \[m \ne 1\].

Khi đó: \[\left( P \right)\] cắt các tia \[{\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z\] lần lượt tại các điểm là: \[A\left( { - \frac{m}{2}\,;0\,;0} \right)\], \[B\left( {0\,; - \frac{m}{3}\,;0} \right)\], \[C\left( {0\,;0\,; - \,m} \right)\], với \[m < 0\].

Thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\] nên \[\frac{1}{6}OA\,.\,OB\,.\,OC = 6\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\left| { - \frac{m}{2}} \right|.\left| { - \frac{m}{3}} \right|.\left| { - \,m} \right| = 6 \Leftrightarrow  - \frac{{{m^3}}}{{36}} = 6\] (do \[m < 0\])

\[ \Leftrightarrow {m^3} =  - \,216 \Leftrightarrow m =  - \,6\] (thỏa mãn).

w Thay tọa độ điểm \(B\left( {4;\,2;\,1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.4 - 2.1 + 2 = 0 \Leftrightarrow 12 = 0\) (Vô lí) \( \Rightarrow \) Điểm \(B \notin \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,2;\,4} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.1 - 2.4 + 2 = 0 \Leftrightarrow  - 3 = 0\) (Vô lí) \( \Rightarrow \) Điểm \(A \notin \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(D\left( {2;\,1;\,4} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.2 - 2.4 + 2 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (Thỏa mãn) \( \Rightarrow \) Điểm \(D \in \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(C\left( {2;\,4;\, - 1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được: