Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;\;2;\;3} \right)\), \[B\left( {1;\;2;\;5} \right)\] và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2y + z + 5 = 0\). Biết điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) sao cho \(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm \(M\).

Do \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha  \right)\] nên \[\left( P \right)\] có phương trình: \[2x + 3y + z + m = 0\], điều kiện \[m \ne 1\].

Khi đó: \[\left( P \right)\] cắt các tia \[{\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z\] lần lượt tại các điểm là: \[A\left( { - \frac{m}{2}\,;0\,;0} \right)\], \[B\left( {0\,; - \frac{m}{3}\,;0} \right)\], \[C\left( {0\,;0\,; - \,m} \right)\], với \[m < 0\].

Thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\] nên \[\frac{1}{6}OA\,.\,OB\,.\,OC = 6\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\left| { - \frac{m}{2}} \right|.\left| { - \frac{m}{3}} \right|.\left| { - \,m} \right| = 6 \Leftrightarrow  - \frac{{{m^3}}}{{36}} = 6\] (do \[m < 0\])

\[ \Leftrightarrow {m^3} =  - \,216 \Leftrightarrow m =  - \,6\] (thỏa mãn).

a) Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;2} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( {ABC} \right)\] là \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;3} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[ - 1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) + 3z = 0\] hay \[x + 2y - 3z + 3 = 0\]

b) Vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2;1} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là: \[ - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 1z = 0\] hay \[x - 2y - z - 5 = 0\]

c) Ta có trung điểm của đoạn \[AC\] là \[M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( \beta  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \,\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;2} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] là: \[0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\] hay \[6y + 4z - 1 = 0\]

d) Ta có \[\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right);\,\overrightarrow {OC}  = \left( {1;1;2} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( \gamma  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {0; - 2;1} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[0x - 2y + 1z = 0\] hay \[2y - z = 0\]