(Trả lời ngắn) 18 bài tập Xác suất có điều kiện (có lời giải)

30 người thi tuần này 4.6 70 lượt thi 18 câu hỏi 45 phút

Câu 1

Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai.
Đán án: ……………………

Xem đáp án

Lời giải

Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”.

Ta cần tính xác suất \[P\left( {A \cap B} \right)\]

Theo công thức nhân xác suất \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)\]

Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên\[P\left( A \right) = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}\]

Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số viên bi trắng là 20, do đó\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{20}}{{49}}\]

Vậy xác suất cần tìm là \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{5}.\frac{{20}}{{49}} = \frac{{12}}{{29}} \approx 0,41\].

Câu 2

Có 40 phiếu thi Toán 12, mỗi phiếu chỉ có một câu hỏi, trong đó có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5 câu hỏi khó và 8 câu hỏi dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu hỏi khó và 15 câu hỏi dễ). Lấy ngẫu nhiên ra một phiếu. Tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết khó.

Đán án: ……………………

Xem đáp án

Lời giải

Gọi A là biến cố: “rút ra được câu hỏi lý thuyết”

Gọi B là biến cố: “rút ra được câu khó”

Nếu biết B đã xảy ra (nghĩa là câu hỏi rút ra là một câu trong số 17 câu khó) thì xác suất để câu hỏi đó là lý thuyết (nghĩa là câu hỏi đó là một câu trong số 5 câu hỏi lý thuyết khó ) chính là xác suất A có điều kiện B đã xảy ra. Ta đi tính \[P\left( {A|B} \right)\].

Ta có:

\[P\left( A \right) = \frac{{13}}{{40}}\]

\[P\left( B \right) = \frac{{17}}{{40}}\]

\[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{{40}}\]

Vậy \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{5}{{40}}}}{{\frac{{17}}{{40}}}} = \frac{5}{{17}} \approx 0,29\].

Câu 3

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm.

Đán án: ……………………

Xem đáp án

Lời giải

Gọi A là biến cố: “ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm”

Gọi B là biến cố: “tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10”

Ta có:

\[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} = \frac{{11}}{{36}}\]

Biến cố \[B\] có các trường hợp \[\left\{ {\left( {4;6} \right),\left( {6;4} \right),\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right)} \right\}\]

Biến cố \[A \cap B\] có 3 trường hợp xảy ra: \[\left\{ {\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right)} \right\}\] có xác suất là: \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{3}{{36}}\]

Vậy \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{3}{{36}}}}{{\frac{{11}}{{36}}}} = \frac{3}{{11}} \approx 0,27\]

Câu 4

Một cuộc thi khoa học có \(36\) bộ câu hỏi, trong đó có \(20\) bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên và \(16\) bộ câu hỏi về chủ đề xã hội. Bạn An lấy ngẫu nhiên \(1\) bộ câu hỏi (lấy không hoàn lại), sau đó bạn Bình lấy ngẫu nhiên \(1\) bộ câu hỏi. Xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?

Đán án: ……………………

Xem đáp án

Lời giải

Xét các biến cố:

A: “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”;

A: “Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.

Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\)

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn \(35\) bộ câu hỏi, trong đó có \(16\) câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra \(P\left( {B/A} \right) = \frac{{16}}{{35}}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn \(35\) bộ câu hỏi, trong đó có \(15\) câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra \(P\left( {B/\overline A } \right) = \frac{{15}}{{35}}\).

Câu 5

Câu lạc bộ văn nghệ của trường Giải Phóng có 40 bạn đều biết chơi ít nhất một trong hai loại đàn là organ và guitar, trong đó có 27 bạn biết chơi đàn organ, 25 bạn biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi đàn organ, biết bạn đó chơi được đàn guitar, là bao nhiêu?

Đán án: ……………………

Xem đáp án

Lời giải

Xét các biến cố: \(A\) : "Chọn được bạn biết chơi đàn organ";

\(B\) : "Chọn được bạn biết chơi đàn guitar".

Khi đó, \({\rm{P}}\left( A \right) = \frac{{27}}{{40}} = 0,675;{\rm{P}}\left( B \right) = \frac{{25}}{{40}} = 0,625;{\rm{P}}\left( {A \cup B} \right) = 1\).

Suy ra \({\rm{P}}\left( {A \cap B} \right) = {\rm{P}}\left( A \right) + {\rm{P}}\left( B \right) - {\rm{P}}\left( {A \cup B} \right) = 0,675 + 0,625 - 1 = 0,3\).

Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi đàn organ, biết bạn đó chơi được đàn guitar, là \({\rm{P}}\left( {A\mid B} \right) = \frac{{0,3}}{{0,625}} = 0,48\)

Câu 6