Đề kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (có lời giải) - Đề 1

Đồ thị trên là đồ thị hàm bậc \(3\) có \(a < 0\). Suy ra chọn đáp án               C.

Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\), nên loại A,                               B.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\) nên chọn                           D.

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) =  - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) =  + \infty \].

Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x =  - 2\), nên loại B; D là hàm số bậc \(3\)nên loại D; đồ thị của C có tiệm cận đứng, không có tiệm cận xiên nên loại                            C.

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y =  - x - 1\) nên chọn#A.

Vì \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{{x^2} + 2x}} =  - 1\).

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ( - 1)x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x + 2}} - ( - 1)x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - x + 4}}{{x + 2}} =  - 1\)

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y =  - x - 1\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\)\( =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} =  + \infty \).

\( \Rightarrow x =  - 3\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \[y = \frac{{2x + 4}}{{1 - x}} \Rightarrow y' = \frac{6}{{{{(1 - x)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\].

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]và \[\left( {1; + \infty } \right)\].

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 7}}{{{x^2} + 2x}} = 1\).

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x - 7}}{{x + 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 5x - 7}}{{x + 2}} =  - 5\)

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 5\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có: \[f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\] hoặc \[x = 1\].

Bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số đạt cực đại tại \[x =  - 3\] và \[{y_{CD}} =  - 5\].

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\] và \[{y_{CT}} = 3\].