Đề kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (có lời giải) - Đề 4

Đây là dáng điệu của hàm số bậc 3 nên ta loại \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\) và \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).

Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right) =  + \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right) =  - \infty \) nên đáp án \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) thỏa mãn.

+) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là \[x =  - 2\]. Loại A

+) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{x - 2}}\) có tiệm cận ngang là \[y = 2\]. Loại B

+)  Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - \frac{1}{2}\). Loại C.

+) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\) có tiệm cận ngang là \[y = 1\], tiệm cận đứng \[x = 2\], cắt trục hoành tại điểm có hành độ bằng \[ - 2\] và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  \[ - 1\]. Chọn D.

Căn cứ vào đồ thị ta có:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 2\).

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y = x + 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \).

Tọa độ giao điểm của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và trục \(Ox\) là \(A\left( {{x_0};0} \right)\) với \(0 < {x_0} < 1\).

+) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) không có tiệm cận xiên. Loại A

+) Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) không có tiệm cận xiên. Loại B

+) Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) không có tiệm cận xiên. Loại D

+) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) có tiệm cận xiên là \[y = x\], tiệm cận đứng \[x = 0\]. Chọn C.

Cho \[x = 0\], ta được \[y = \frac{{2.0 - 4}}{{0 - 1}} = 4\]. Tọa độ giao điểm với trục \[Oy\] là \(\left( {0;4} \right)\).

+) Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{x}\) không xác định tại \(x = 0\). Loại A

+) Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\) có hệ số \[a = 1 > 0\]. Loại B

+) Ta có \(y =  - {x^3} + 3x - 4 \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\). Hàm số có hai điểm cực trị \(x =  \pm 1\). Loại C

+) Ta có \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4 \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\). Hàm số có hai điểm cực trị \(x = 0,\,x = 2\). Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \[\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} = 2x - 7\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{x^2} - 11x + 8 = 0\end{array} \right.\].

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{11 - \sqrt {89} }}{2}\\{x_2} = \frac{{11 + \sqrt {89} }}{2}\end{array} \right.\] .

suy ra, tổng hoành độ của hai giao điểm là: \[{x_1} + {x_2} = \frac{{11 - \sqrt {89} }}{2} + \frac{{11 + \sqrt {89} }}{2} = 11\].

Số giao điểm của đường thẳng \(y = 1\) và đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là 3.