Câu hỏi:

30/09/2025 53 Lưu

Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}\] có đồ thị \[\left( C \right)\]. Khi đó

a) Tập xác định của hàm số đã cho là \[\mathbb{R}\].

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \[x = 2\] và có tiệm cận xiên là đường thẳng \[y = x\].

c) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng \[4\].

d) Cho đường thẳng \[y = mx - 2\]. Khi đó có đúng 8 giá trị nguyên của tham số \[m\] không vượt quá 10 để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng \[y = mx - 2\] tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía so với tiệm cận đứng của đồ thị \[\left( C \right)\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a)  SAI vì Tập xác định của hàm số đã cho là \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\].

b) ĐÚNG. Dễ thấy tiệm cận đứng là \[x = 2\]. Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0;\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0\]. Vậy phương trình tiệm cận xiên là \[y = x\].

c) ĐÚNG. Ta có \[y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]. Ta thấy \[y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 4\]. \[y\left( 0 \right) =  - 2;y\left( 4 \right) = 6\]. Vậy tổng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là \[ - 2 + 6 = 4\].

d) SAI. Phương trình hoành độ giao điểm

\[\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} = mx - 2\]

Dễ thấy phương trình không có nghiệm \[x = 2\] nên phương trình tương đương

\[\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx = 0\].

Nếu \[m = 1\] thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x = 0\](KTM).

Nếu \[m \ne 1\], phương trình đã cho có hai nghiệm \[x = 0;x = \frac{{2m}}{{m - 1}}\].

Yêu cầu bài toán tương đương \[\frac{{2m}}{{m - 1}} > 2 \Leftrightarrow \frac{2}{{m - 1}} > 0 \Leftrightarrow m > 1\].

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số \[m\] thỏa mãn là \[2;3;4;5;6;7;8;9;10\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

với \(m = 0\) ta có \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\). Khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

với \(m = 2\) ta có \(y = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = 2x + 3\). Khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

với \(m \ne 0;m \ne 2\) ta có \(y = mx + m + 1 + \frac{{m - 2}}{{x - 1}}\).

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - mx - m - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{m - 2}}{{x - 1}} = 0\] nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = mx + m + 1\) .

Giao điểm của tiệm cận xiên với trục \(Ox\) là \(\left( {\frac{{ - m - 1}}{m};0} \right)\);

Giao điểm của tiệm cận xiên với trục \(Oy\) là \(\left( {0;m + 1} \right)\).

Đường tiệm cận xiên tạo thành một tam giác thì diện tích của tam giác:

 \(S = \frac{1}{2}.\left| {m + 1} \right|.\left| {\frac{{ - m - 1}}{m}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| m \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 = 4m;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m \ge 0\\{m^2} + 2m + 1 =  - 4m;\,\,\,khi\,\,m < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 = 0;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m \ge 0\\{m^2} + 6m + 1 = 0;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m =  - 3 + 2\sqrt 2 \\m =  - 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vậy tổng giá trị của \(S\) bằng \(\frac{{ - 11}}{2}\).

Lời giải

Đáp án: \[3\].

Hàm số \(y = f(x) = {2024^x} - {2024^{ - x}} + x + \sin x\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và

\(f( - x) = {2024^{ - x}} - {2024^x} - x - \sin x =  - f(x)\)

, suy ra \(f(x)\) là hàm số lẻ.

Mặt khác, \(y' = f'(x) = {2024^x}.\ln 2024 + {2024^{ - x}}.\ln 2024 + 1 + \cos x > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó, \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó, phương trình

\[f(x + 3) + f\left( {{x^3} - 4x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow f(x + 3) =  - f\left( {{x^3} - 4x + m} \right)\]

\[ \Leftrightarrow f(x + 3) = f\left( { - {x^3} + 4x - m} \right) \Leftrightarrow x + 3 =  - {x^3} + 4x - m\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 3 =  - m\]

Đặt \[g(x) = {x^3} - 3x + 3 \Rightarrow g'(x) = 3{x^2} - 3\].

Ta có \[g'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Cho hàm số \(y = f(x) = {2024^x} - {2024^{ - x}} + x + \sin x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f(x + 3) + f\left( {{x^3} - 4x + m} \right) = 0\) có đúng ba nghiệm phân biệt? (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \[g(x) = {x^3} - 3x + 3\] tại 3 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow 1 <  - m < 5 \Leftrightarrow  - 5 < m <  - 1\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thoả đề.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. \(7\).                       
B. \(5\).                     
C. \(8\).                           
D. \(11\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP