Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau

Số giao điểm của đường thẳng \(y = 1\) và đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là

Đáp án: \[9\]mg/ml.

Tổng khối lượng của \[NaOH\] sau khi trộn \[x\](ml) là: \[25.100 + 9x = 2500 + 9x\](mg)

Tổng thể tích của dung dịch sau khi trộn là : \[25 + x\].

Ta có \[C\left( x \right) = \frac{{2500 + 9x}}{{25 + x}};x \ge 0.\]

Ta có TXĐ của hàm số là \[D = \left[ {0; + \infty } \right)\]

Có $C^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{9.\left(25+x\right)-(2500+9x)}{{\left(25+x\right)}^2}=\frac{-2275}{{\left(25+x\right)}^2}<0,\forall x\in D$

Lại có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2500+9x}{25+x}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{2500}{x}+9}{\frac{25}{x}+1}=9$

Do đó nồng độ \[NaOH\] luôn giảm nhưng luôn lớn hơn \[9\]mg/ml.

Đáp án: \[3\].

Hàm số \(y = f(x) = {2024^x} - {2024^{ - x}} + x + \sin x\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và

\(f( - x) = {2024^{ - x}} - {2024^x} - x - \sin x =  - f(x)\)

, suy ra \(f(x)\) là hàm số lẻ.

Mặt khác, \(y' = f'(x) = {2024^x}.\ln 2024 + {2024^{ - x}}.\ln 2024 + 1 + \cos x > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó, \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó, phương trình

\[f(x + 3) + f\left( {{x^3} - 4x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow f(x + 3) =  - f\left( {{x^3} - 4x + m} \right)\]

\[ \Leftrightarrow f(x + 3) = f\left( { - {x^3} + 4x - m} \right) \Leftrightarrow x + 3 =  - {x^3} + 4x - m\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 3 =  - m\]

Đặt \[g(x) = {x^3} - 3x + 3 \Rightarrow g'(x) = 3{x^2} - 3\].

Ta có \[g'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \[g(x) = {x^3} - 3x + 3\] tại 3 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow 1 <  - m < 5 \Leftrightarrow  - 5 < m <  - 1\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thoả đề.