40 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số (có lời giải)

a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là 34⁰C

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (34⁰C)  là lúc 16 giờ

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 20⁰C

Có \({y^\prime } = - \frac{{15\left( {9{t^2} + 1} \right) - 270{t^2}}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{ - 135{t^2} + 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Có \({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 135{{\rm{t}}^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}({\rm{vt}} \ge 0)\)

Thể tích chiếc hộp là: V(x) = x(30 – 2x)(80 – 2x) = 2 400x – 220x² + 4x³ với 5 ≤ x ≤ 10.

Ta có: V '(x) = 12x² – 440x + 2 400;

           V '(x) = 0 ⇔ x =  hoặc x = 30 (loại vì không thuộc [5; 10]);

           V(5) = 7 000; \[V\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = \frac{{200000}}{{27}}\]_; V(10) = 6 000.

      Do đó \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {5;10} \right]} V\left( x \right) = \frac{{200000}}{{27}}{\rm{ khi x = }}\frac{{20}}{3}\]          

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì x = \[\frac{{20}}{3}\] cm.

Đặt một cạnh góc vuông là \(x(x > 0)\) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {5 - {x^2}} \) Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = x\sqrt {5 - {x^2}} \)

Tập xác định: \(D = (0;\sqrt 5 ]\); \({f^\prime }(x) = \sqrt {5 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {5 - {x^2}} }}\)

Tập xác định mới: \({D_1} = (0;\sqrt 5 )\); \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{\sqrt {10} }}{2}}\\{x = - \frac{{\sqrt {10} }}{2}}\\{{\rm{ ( loai }})}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \({\max _D}f(x) = f\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{2}} \right) = \frac{5}{2}\) . Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{5}{2}\)

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \(x(\;{\rm{cm}},0 < x < 12)\)

Chiều rộng của hình chữ nhật là \(12 - x(\;{\rm{cm}})\)

Diện tích của hình chữ nhật là: \(x(12 - x) = - {x^2} + 12x\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Đặt \(S(x) = - {x^2} + 12x,x \in (0;12)\); \({S^\prime }(x) = - 2x + 12,{S^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = 6(\) tm $)

Bảng biến thiên:

Do đó, trong các hình có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là \(36\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

Ta có \({\rm{a}} + {\rm{b}} = 10\), suy ra \({\rm{b}} = 10 - {\rm{a}}\).

Vì \({\rm{a}},{\rm{b}} \ge 0\) nên \(10 - {\rm{a}} \ge 0\), suy ra \({\rm{a}} \le 10\).

Ta có \({\rm{ab}} = {\rm{a}}(10 - {\rm{a}}) = - {{\rm{a}}^2} + 10{\rm{a}}\).

Xét hàm số \({\rm{H}}({\rm{a}}) = - {{\rm{a}}^2} + 10{\rm{a}}\) với \({\rm{a}} \in [0;10]\).

Đạo hàm \({{\rm{H}}^\prime }({\rm{a}}) = - 2{\rm{a}} + 10\). Trên khoảng \((0;10),{{\rm{H}}^\prime }({\rm{a}}) = 0\) khi \({\rm{a}} = 5\).

\(H(0) = 0;H(5) = 25;H(10) = 0.{\rm{ }}\)

Do đó, \({\max _{[0,10]}}H(a) = 25\) tại \(a = 5\).

Với \({\rm{a}} = 5\) thì \({\rm{b}} = 10 - 5 = 5\).

Vậy biểu thức \({\rm{ab}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng 25 khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = 5\).

Ta có \({\rm{a}} + {\rm{b}} = 10\), suy ra \({\rm{b}} = 10 - {\rm{a}}\).

Vì \({\rm{a}},{\rm{b}} \ge 0\) nên \(10 - {\rm{a}} \ge 0\), suy ra \({\rm{a}} \le 10\).

Ta có \(a{b^2} = a{(10 - a)^2} = {a^3} - 20{a^2} + 100a\).

Xét hàm số \({\rm{T}}({\rm{a}}) = {{\rm{a}}^3} - 20{{\rm{a}}^2} + 100{\rm{a}}\) với với \({\rm{a}} \in [0;10]\).

Đạo hàm \({\rm{T}}({\rm{a}}) = 3{{\rm{a}}^2} - 40{\rm{a}} + 100\). Trên khoảng \((0;10),S({\rm{a}}) = 0\) khi \({\rm{a}} = \frac{{10}}{3}\).

\({\rm{T}}(0) = 0;T\left( {\frac{{10}}{3}} \right) = \frac{{4000}}{{27}};{\rm{T}}(10) = 0\)

Do đó, \({\max _{[0;10]}}T(a) = \frac{{4000}}{{27}}\) tại \(a = \frac{{10}}{3}\).

Với \(a = \frac{{10}}{3}\) thì \(b = 10 - \frac{{10}}{3} = \frac{{20}}{3}\).

Vậy biếu thức \(a{b^2}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{4000}}{3}\) tại \(a = \frac{{10}}{3},b = \frac{{20}}{3}\).