Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha )$ : $2x + 3y - 6z - 7 = 0,(\beta ):2x + 3y - 6z + 14 = 0$.

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm $M(1; - 2;3)$ đến $(\alpha )$.

b) Chứng minh $(\alpha )//(\beta )$ và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có:

$\begin{array}{l}d(O,(\alpha )) = \frac{{|2.0 + 3.0 - 6.0 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{7}{7} = 1\\d(M,(\alpha )) = \frac{{|2.1 + 3.( - 2) - 6.3 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{29}}{7}.\end{array}$

b) Ta có $\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 6}}{{ - 6}} \ne \frac{{ - 7}}{{14}}$ nên $(\alpha )//(\beta )$. Lấy điểm $N( - 7;0;0)$ thuộc ( $\beta $ ).

Vậy $d((\alpha ),(\beta )) = d(N,(\alpha )) = \frac{{|2.( - 7) + 3.0 - 6.0 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3.{\rm{ }}$

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là $S(5;0;1),A(1;1;1)$, $B(2;3;4),C(5;2;3)$.

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1;2;3),\overrightarrow {AC} = (4;1;2)$, suy ra $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7)$.

Phương trình của $(ABC)$ là: $1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0$ hay $x + 10y - 7z - 4 = 0$.

Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm $S$ đến $(ABC)$.

Ta có: $SH = d(S,(ABC)) = \frac{{|1.5 + 10 \cdot 0 + ( - 7) \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{6}{{5\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}$.

Câu 2

Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a$ và $SA \bot (ABCD)$. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

$Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a và SA thuộc (ABCD)\) (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Theo Hình 19 , ta có $A(0;0;0),S(0;0;3a),B(2a;0;0),D(0;5a;0)$ và $C(2a;5a;0)$.

Ta có $\overrightarrow {SB} = (2a;0; - 3a),\overrightarrow {SC} = (2a;5a; - 3a)$, suy ra $[\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {15{a^2};0;10{a^2}} \right)$.

Mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;0;2)$.

Vậy mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình là: $3(x - 0) + 2(z - 3a) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.$

Khi đó $d(A,(SBC)) = \frac{{| - 6a|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }}a$.

Câu 3