Khi đặt hệ tọa độ \[Oxyz\]vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0\]. Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Ta có \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(OH \bot \left( P \right)\). Do đó \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\).

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha  = 45^\circ \).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \,\left( {4;0; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} \,\left( {0;9;0} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)\).

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \({\vec n_1} = \left( {1;0;2} \right)\)

Lại có, \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({\vec n_2} = \left( {0;0;1} \right)\).

Từ đó, góc có \(\alpha \) giữa mái nhà bên phải và nền nhà có \(\cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).