Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian (có lời giải) - Đề 2

\[\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;0;0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;1;1} \right)\).

\(\cos \left( {\left( {Oyz} \right);\left( \alpha  \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = 0\).

\(\left( {\left( {Oyz} \right);\left( \alpha  \right)} \right) = {90^0}\).

\[\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{\sqrt 2 }}\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( { - 5;3;\sqrt 2 } \right)\]

\[\cos \left( {\Delta ,Oy} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 5.0 + 3.1 + \sqrt 2 .0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \left( {\Delta ,Oy} \right) = 60^\circ \]

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\).

\(\sin \left( {\Delta ;\left( \alpha  \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow j } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(\left( {\Delta ;\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^0}\).

\[\left( P \right):x + 2y + 2z - 5 = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;2;2} \right)\].

\[\left( Q \right):3x - 4y = 1\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 4;0} \right)\].

                                      \[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.3 + 2.\left( { - 4} \right) + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 71^\circ \].

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta '\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1;2;1} \right)\).

\(\cos \left( {\Delta ;\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{3.\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{18}}\).

\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y =  - 2 + t\\z = 1\end{array} \right.\) có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {5;1;0} \right)\].

\((P):3x - 2y + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;0} \right)\].

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta '\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {2;1;1} \right)\).

\(\cos \left( {\Delta ;\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{1}{2}.\)

Nên \(\left( {\Delta ;\Delta '} \right) = {60^0}\).