Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;0;0} \right);{\rm{ }}B\left( {0;\sqrt 2 ;0} \right)\] và các đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - \sqrt 2 }} = \frac{{z - 2}}{1}\] ,\[{d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\],\[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + \sqrt 2 t\\z = 2 + mt\end{array} \right.\].  Xét tính đúng /sai của các mệnh đề sau.

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\] lần lượt là \[{\overrightarrow u _{_1}} = \left( {1\,;\, - \sqrt 2 \,;\,1} \right)\], \[{\overrightarrow u _{_2}} = \left( {1\,;\, - 2\,;\,1} \right)\].

b)    Sai

Ta có: \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 - \sqrt 2 .\left( { - 2} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2 + 2\sqrt 2 }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 6 }}\]

c)     Sai

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \[{d_1}\] và \[\Delta \] lần lượt là \[{\overrightarrow u _{_1}} = \left( {1\,;\, - \sqrt 2 \,;\,1} \right)\], \[{\overrightarrow u _{_\Delta }} = \left( {1\,;\,\sqrt 2 \,;\,m} \right)\].

Ta có \[\cos \left( {{d_1},\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 - \sqrt 2 .\sqrt 2  + 1.m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\sqrt 2 }^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }}.\]

Do góc giữa  hai đường thẳng  \[\Delta \] và đường thẳng \[{d_1}\] bằng \(60^\circ \)nên ta có:

\[\cos 60^\circ  = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }} \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 3}  \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = {m^2} + 3 \Leftrightarrow m =  - 1\]

d)    Sai

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \[AB\] và \[\Delta \] lần lượt là \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1\,;\,\sqrt 2 \,;\,0} \right)\], \[{\overrightarrow u _{_\Delta }} = \left( {1\,;\,\sqrt 2 \,;\,m} \right)\].

Ta có \[\cos \left( {AB,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.1 + \sqrt 2 .\sqrt 2  + 0.m} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\sqrt 2 }^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\sqrt 2 }^2} + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 \sqrt {{m^2} + 3} }}.\]

Do góc giữa  hai đường thẳng  \[\Delta \] và đường thẳng \[{d_1}\] bằng \(45^\circ \)nên ta có:

\[\cos 45^\circ  = \frac{1}{{\sqrt 3 \sqrt {{m^2} + 3} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 3 \sqrt {{m^2} + 3} }} \Leftrightarrow \sqrt 6 \sqrt {{m^2} + 3}  = 2 \Leftrightarrow 3{m^2} + 7 = 0\]

Không có giá trị nào của tham số \[m\]thỏa mãn góc giữa đường thẳng  \[\Delta \] và đường thẳng \[AB\]bằng \(45^\circ \)