Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + z + 2 = 0\) cắt nhau. Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(\left( d \right)\) và tạo với \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất là \(x - 4y + z + m = 0\). Khi đó \(m\) bằng bao nhiêu?

a) Sai.

Ta có \({D_1}\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \({A_1}\left( {0;\,1;\,0} \right)\), C₁ (1;0;0), \({B_1}\left( {1;\,1;\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = \left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = \left( {1;\,0;\,0} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ;\,\overrightarrow {{D_1}{C_1}} } \right] = \left( {0;\,0;\, - 1} \right)\).

b) Sai.

Ta có \(D\left( {0;\,0;\,x} \right)\), \(\overrightarrow {D{B_1}}  = \left( {1;\,1;\, - x} \right)\).

Vì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).

Suy ra \(sin\left( {{B_1}D;\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {D{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow x = \sqrt 6 \).

c) Sai.

Ta có \(C\left( {1;\,0;\,x} \right),\,\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = \left( {1;\,1;\,0} \right),\,\overrightarrow {{D_1}C}  = \left( {1;\,0;\,x} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ,\,\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x;\, - x;\, - 1} \right)\).

Vì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).

Suy ra \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Sai

 Gọi góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\alpha \).

Khi đó \(\sin \alpha  = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} < 1\).

a) Sai

Với \(m = 1\) thì  mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình: \(x + y + 2019 = 0\).

Mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,1;\,0} \right)\).

\[\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng \(45^\circ \).

b) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;\,2;\,1} \right)\) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( R \right)\).

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {OH} ,\,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.2 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).

Vậy côsin góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(\frac{4}{9}\).

c) Sai.

Mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,m;\,m - 1} \right)\).

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {m^2} - m - 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} = 1\).

d) Sai.

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{{3.\sqrt {2{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }} \le \frac{1}{{3\sqrt {\frac{3}{2}} }}\) Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow {\rm{ }}m = \frac{1}{2}\].