Khi gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị mỗi trục tính theo km) vào mỗi sân bay, mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí \[A\left( {7; - 4;\frac{4}{5}} \right)\] sẽ hạ cánh ở vị trí \[B\left( {7;11;0} \right)\]trên đường băng. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng \[AB\]) và sân bay (một phần của mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kế quả đến hàng đơn vị)?

a) Sai.

Ta có \({D_1}\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \({A_1}\left( {0;\,1;\,0} \right)\), C₁ (1;0;0), \({B_1}\left( {1;\,1;\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = \left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = \left( {1;\,0;\,0} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ;\,\overrightarrow {{D_1}{C_1}} } \right] = \left( {0;\,0;\, - 1} \right)\).

b) Sai.

Ta có \(D\left( {0;\,0;\,x} \right)\), \(\overrightarrow {D{B_1}}  = \left( {1;\,1;\, - x} \right)\).

Vì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).

Suy ra \(sin\left( {{B_1}D;\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {D{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow x = \sqrt 6 \).

c) Sai.

Ta có \(C\left( {1;\,0;\,x} \right),\,\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = \left( {1;\,1;\,0} \right),\,\overrightarrow {{D_1}C}  = \left( {1;\,0;\,x} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ,\,\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x;\, - x;\, - 1} \right)\).

Vì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).

Suy ra \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Sai

 Gọi góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\alpha \).

Khi đó \(\sin \alpha  = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} < 1\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\). Mặt \(\left( {Oyz} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i  = \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tọa bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) suy ra \(\alpha  = 60^\circ \).

Ta có: \[\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  = 2\left| a \right|\] (*).

Thay \(a = b = 1\) vào phương trình (*) ta được: \(\sqrt {2 + {c^2}}  = 2 \Rightarrow c =  - \sqrt 2 \).

Khi đó \(a + b + c = 2 - \sqrt 2 \).