Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất ra thị trường, mỗi bóng đèn đều được kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt đối hoàn hảo nên tỉ lệ công nhận một bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 0,9 và tỉ lệ loại bỏ một bóng hỏng là 0,95. Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng.

Gọi \[A\] là biến cố lấy được bi xanh từ hộp thứ nhất

a) Đúng. Ta có: \[P\left( A \right) = \frac{3}{8}\].

b) Sai. Ta có \[\overline A \] là biến cố lấy được bi vàng từ hộp thứ nhất, ta có: \[P\left( {\overline A } \right) = \frac{5}{8}\].

c) Đúng.

Gọi \[{B_1}\] là biến cố lấy được 2 bi khác màu từ hộp thứ hai. Ta có:

\[P\left( {{B_1}|A} \right) = \frac{{C_4^1.C_6^1 + C_4^1.C_3^1 + C_3^1.C_6^1}}{{C_{13}^2}} = \frac{9}{{13}}\].

d) Sai.

Gọi \[{B_2}\] là biến cố lấy được 2 bi vàng từ hộp thứ hai. Ta có:

Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ nhất” và \(B\) là biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ hai”.

Gọi \(C\) là biến cố “Lấy được 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh từ hộp thứ nhất” và \(D\) là biến cố “Lấy được 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh từ hộp thứ hai”.

Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_6^2}} = \frac{2}{3}\);  \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}\); \(P\left( C \right) = \frac{{C_1^1C_5^1}}{{C_6^2}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {D|C} \right) = \frac{{C_4^1C_6^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\).

Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{1}{3}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {\overline C } \right) = 1 - P\left( C \right) = \frac{2}{3}\); \(P\left( {D|\overline C } \right) = \frac{{C_3^1C_7^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}\)

a) Đúng.

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{2}{3}.\frac{7}{{15}} + \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{{19}}{{45}}.\)

b) Sai.

\(P\left( D \right) = P\left( C \right).P\left( {D|C} \right) + P\left( {\overline C } \right).P\left( {D|\overline C } \right) = \frac{1}{3}.\frac{8}{{15}} + \frac{2}{3}.\frac{7}{{15}} = \frac{{22}}{{45}}.\)

c) Đúng.

Áp dụng công thức Bayes ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{2}{3}.\frac{7}{{15}}:\frac{{19}}{{45}} = \frac{{14}}{{19}}\).

d) Sai.