Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với \(80\% \) các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là \(1\% \). Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus có dạng \(\frac{a}{b}\) (Phân số tối giản). Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?

Gọi \[{K_1}\]:  “Bi lấy ra từ hộp II là bi của hộp \[I\]”

\[{K_2}\]: “Bi lấy ra từ hộp \[II\] là bi của hộp \[II\]”

\[A\]: “Lấy được bi trắng”

a) Ta có : \[P\left( {{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_2^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{1}{6}\];  \[P\left( {{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_{10}^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{5}{6}\].

\[P\left( {A|{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{1}{2}\];  \[P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{3}{5}\].

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để lấy được bi trắng là:

\[P\left( A \right)\, = \,P\left( {{K_1}} \right).P\left( {A|{K_1}} \right)\, + P\left( {{K_2}} \right).P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{1}{6}.\frac{1}{2}\, + \,\frac{5}{6}.\frac{3}{5} = \frac{7}{{12}} \simeq \,0,58\].

b) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để lấy được bi trắng của hộp \[I\] là: 

Gọi \[A\]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt”

Gọi \[B\]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra do nhà máy I sản xuất ”, suy ra \[\overline B \]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra do nhà máy II sản xuất”.

Khi đó, ta có:

\[P\left( B \right) = 40\%  = \frac{2}{5};{\rm{ }}P\left( {\overline B } \right) = 60\%  = \frac{3}{5}\];

\[P\left( {A|B} \right) = 100\%  - 3\%  = 97\%  = \frac{{97}}{{100}};{\rm{ }}P\left( {A|\overline B } \right) = 100\%  - 4\%  = 96\%  = \frac{{96}}{{100}} = \frac{{24}}{{25}}\].

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: