Một căn bệnh có 2% dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán được phát triển có  tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 97%. Lấy một người đi kiểm tra.

Gọi \[{K_1}\]:  “Bi lấy ra từ hộp II là bi của hộp \[I\]”

\[{K_2}\]: “Bi lấy ra từ hộp \[II\] là bi của hộp \[II\]”

\[A\]: “Lấy được bi trắng”

a) Ta có : \[P\left( {{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_2^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{1}{6}\];  \[P\left( {{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_{10}^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{5}{6}\].

\[P\left( {A|{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{1}{2}\];  \[P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{3}{5}\].

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để lấy được bi trắng là:

\[P\left( A \right)\, = \,P\left( {{K_1}} \right).P\left( {A|{K_1}} \right)\, + P\left( {{K_2}} \right).P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{1}{6}.\frac{1}{2}\, + \,\frac{5}{6}.\frac{3}{5} = \frac{7}{{12}} \simeq \,0,58\].

b) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để lấy được bi trắng của hộp \[I\] là: 

Gọi \(A\) là biến cố “Người đó bị nhiễm Virus”.

\(B\) là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”.

Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus\(P\left( {B|A} \right) = 0,9\).

Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả âm tính với \(80\% \) các trường hợp thực sự không nhiễm virus, nên cho kết quả dương tính với \(20\% \) các trường hợp không thực sự nhiễm virus  \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2\)

\(P\left( A \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,99\)

Do đó xác suất để người đó cho kết quả dương tính là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,01.0,9 + 0,99.0,2 = 0,207\)

Xác suất để người nhiễm virus cho kết quả dương tính là:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,207}} = \frac{1}{{23}}\)

Vậy \(a = 1,b = 23 \Rightarrow a + b = 24\).