Bạn Ngọc phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là \(0,8\). Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là \(0,9\). Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là \(0,5\). Xét các biến cố sau:

Gọi \(A\) là biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công”.

Gọi \(B\) là biến cố “Thí nghiệm thứ hai thành công”.

Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được đồng xu cân đối đồng chất” và \(B\) là biến cố: “Tung đồng xu ba lần đều xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó ta cần tính \(P\left( {A|B} \right)\).

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {B|A} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\), \(P\left( {B|\overline A } \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}}\).

Theo công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần ta có

a) Sai

vì B và C tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên \[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|C} \right)\]

b) Đúng

Gọi A là biến cố “Viên đạn trúng đích”.

B là biến cố “ Xạ thủ loại I bắn”.

C là biến cố “ Xạ thủ loại II bắn”.

Ta có: \[P\left( B \right) = \frac{2}{{10}} = 0,2;\quad P\left( {A|B} \right) = 0.9;\quad P\left( C \right) = \frac{8}{{10}} = 0,8;\quad P\left( {A|C} \right) = 0.7\]

B và C tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên \[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|C} \right)\]

   \[ = 0.2.0.9 + 0.8.0.7 = 0.74\]

c) Sai

vì \[{E_i}\] tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên

\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|{E_2}} \right)\]

d) Sai

Gọi E là biến cố “ Cả hai viên đạn đều bắn trúng đích”  \[{E_i}\] là biến cố “chọn được i xạ thủ loại I”

Ta có:  \[P\left( {{E_0}} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{28}}{{45}};\;P\left( {E|{E_o}} \right) = 0,7.0,7 = 0,49\]

             \[P\left( {{E_1}} \right) = \frac{{C_2^1C_8^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{{16}}{{45}};\;P\left( {E|{E_1}} \right) = 0,9.0,7 = 0,63\]

             \[P\left( {{E_2}} \right) = \frac{{C_2^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{{45}};\;P\left( {E|{E_2}} \right) = 0,9.0,9 = 0,81\]

Vì \[{E_o},{\kern 1pt} {E_1},\;{E_2}\] tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên ta có Xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích là:

\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|{E_2}} \right)\]