Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), hình chiếu vuông góc \(H\) của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\). Biết \(AA' = BC = 2a\).

a) \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Ta có: \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{{2a}}{3}\).

Độ dài đường cao của lăng trụ là: \(A'H = \sqrt {A'{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4a\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy khẳng định a đúng.

b) Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \frac{1}{2}AB.AC.A'H = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{{4a\sqrt 2 }}{3} = \frac{{4{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy khẳng định b sai.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC\) là:

\(d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 3d\left( {H;\left( {ACC'A'} \right)} \right)\)

(Vì \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)).

Vậy khẳng định c đúng.

d) Kẻ \(HJ\) song song với \(AB\), \(J \in AC\), \(HJ \cap BC = I\)

\(HJ = \sqrt {A{H^2} - A{J^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Trong \(\left( {A'HJ} \right)\), kẻ \(HE \bot A'J\) tại \(E\)

Khi đó: $d( H; (ACC\text{'}A\text{'}) = HE\hspace{0.17em}$

\(\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{9}{{32{a^2}}} + \frac{9}{{2{a^2}}} = \frac{{9.17}}{{32{a^2}}} \Rightarrow HE = \frac{{4a\sqrt 2 }}{{3\sqrt {17} }}\).

\(d\left( {BB';AC} \right) = 3d\left( {H;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 3HE = \frac{{4a\sqrt {34} }}{{17}}\).

Vậy khẳng định d sai.