Một trang trại dự định dành 100 ha đất để trồng ba loại cây: Cao su, Cây phê và Hồ tiêu. Lợi nhuận hàng năm ước tính của Cao su là 40 triệu đồng/ha, Cà phê là 60 triệu đồng/ha và Hồ tiêu là 80 triệu đồng/ha. Do các yếu tố về quy hoạch và tài nguyên nước, diện tích trồng các loại cây phải tuân thủ các điều kiện sau:

1.Tổng diện tích trồng Cà phê và Hồ tiêu không được vượt quá diện tích trồng Cao su.

2. Diện tích trồng Hồ tiêu không được vượt quá 20 ha.

3. Diện tích trồng Cà phê không được vượt quá 3 lần diện tích trồng Hồ tiêu.

Hỏi tổng lợi nhuận thu được hàng năm của trang trại đó lớn nhất là bao nhiêu tỷ đồng?

Đáp án: \(163\).

Gọi \(O\) là trọng tâm của tứ diện đều \(ABCD\).

Theo giả thiết, ta có \(OA \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(OA{\rm{//}}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = {k_1}\overrightarrow {OA} \).

Tương tư: \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = {k_2}\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = {k_3}\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {k_4}\overrightarrow {OD} \).

Ta có \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow 0 \)\[ \Leftrightarrow {k_1}\overrightarrow {OA} + {k_2}\overrightarrow {OB} + {k_3}\overrightarrow {OC} + {k_4}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \].

Vì \(O\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\) nên suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

Hay \({k_1}\overrightarrow {OA} + {k_1}\overrightarrow {OB} + {k_1}\overrightarrow {OC} + {k_1}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \left( {{k_1} - {k_2}} \right)\overrightarrow {OB} + \left( {{k_1} - {k_3}} \right)\overrightarrow {OC} + \left( {{k_1} - {k_4}} \right)\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \). \(\left( * \right)\)

Do các vecto \(\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OD} \) không đồng phẳng nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow {k_1} = {k_2} = {k_3} = {k_4} = k\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;1; - 1} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 1;1} \right)\).

Khi đó: \[AB = BC = CD = DA = AC = BD = 2\sqrt 2 \].

Vì tứ diện \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\) nên \(1\) đơn vị trên trên trục bằng \(2\sqrt 2 \)đơn vị độ dài.

Ta có :

\(\left( {BCD} \right)\) : \(x + y + z + 1 = 0\)

\(\left( {CDA} \right):x - y - z + 1 = 0\).

\(\left( {DAB} \right): - x + y - z + 1 = 0\).

\(\left( {ABC} \right): - x - y + z + 1 = 0\).

Gọi \({A_1}\left( {x;y;z} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = k\overrightarrow {OA} \)\[ \Rightarrow {B_1}\left( {x + k;y + k;z + k} \right)\].

Tương tụ \({C_1}\left( {x + 2k;y;z} \right)\) và \({D_1}\left( {x + k;y + k;z - k} \right)\).

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z + 1 = 0}\\{x + k - \left( {y + k} \right) - \left( {z + k} \right) + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + 2k} \right) + y - k + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + k} \right) - \left( {y + k} \right) + z - k + 1 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{2}{3}}\\{y = - \frac{1}{3}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{k = \frac{2}{3}}\end{array}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = \left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

Suy ra \(V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{B_1}{C_1}} ,\overrightarrow {{C_1}{D_1}} } \right]} \right| = \frac{{16}}{{81}}\) (đơn vị thể tích trên trục)

Do đó \(V = \frac{{16}}{{81}} \cdot {\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 2 }}{{162}}\) (đơn vị thể tích)

Vậy \(a + b = 163\)