Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\). Trên các mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), \(\left( {CDA} \right)\), \(\left( {DAB} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\) lần lượt lấy các điểm \({A_1}\), \({B_1}\), \({C_1}\), \({D_1}\) sao cho các đường thẳng \({A_1}{B_1}\), \({B_1}{C_1}\), \({C_1}{D_1}\), \({D_1}{A_1}\) lần lượt vuông góc với các mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), \(\left( {CDA} \right)\), \(\left( {DAB} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\). Biết thể tích khối tứ diện \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) bằng \(\frac{a}{b}\sqrt 2 \) với \(a\), \(b\) là các số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a + b\).

Đáp án: \(163\).

Gọi \(O\) là trọng tâm của tứ diện đều \(ABCD\).

Theo giả thiết, ta có \(OA \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(OA{\rm{//}}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = {k_1}\overrightarrow {OA} \).

Tương tư: \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = {k_2}\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = {k_3}\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {k_4}\overrightarrow {OD} \).

Ta có \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow 0 \)\[ \Leftrightarrow {k_1}\overrightarrow {OA} + {k_2}\overrightarrow {OB} + {k_3}\overrightarrow {OC} + {k_4}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \].

Vì \(O\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\) nên suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

Hay \({k_1}\overrightarrow {OA} + {k_1}\overrightarrow {OB} + {k_1}\overrightarrow {OC} + {k_1}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \left( {{k_1} - {k_2}} \right)\overrightarrow {OB} + \left( {{k_1} - {k_3}} \right)\overrightarrow {OC} + \left( {{k_1} - {k_4}} \right)\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \). \(\left( * \right)\)

Do các vecto \(\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OD} \) không đồng phẳng nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow {k_1} = {k_2} = {k_3} = {k_4} = k\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;1; - 1} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 1;1} \right)\).

Khi đó: \[AB = BC = CD = DA = AC = BD = 2\sqrt 2 \].

Vì tứ diện \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\) nên \(1\) đơn vị trên trên trục bằng \(2\sqrt 2 \)đơn vị độ dài.

Ta có :

\(\left( {BCD} \right)\) : \(x + y + z + 1 = 0\)

\(\left( {CDA} \right):x - y - z + 1 = 0\).

\(\left( {DAB} \right): - x + y - z + 1 = 0\).

\(\left( {ABC} \right): - x - y + z + 1 = 0\).

Gọi \({A_1}\left( {x;y;z} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = k\overrightarrow {OA} \)\[ \Rightarrow {B_1}\left( {x + k;y + k;z + k} \right)\].

Tương tụ \({C_1}\left( {x + 2k;y;z} \right)\) và \({D_1}\left( {x + k;y + k;z - k} \right)\).

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z + 1 = 0}\\{x + k - \left( {y + k} \right) - \left( {z + k} \right) + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + 2k} \right) + y - k + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + k} \right) - \left( {y + k} \right) + z - k + 1 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{2}{3}}\\{y = - \frac{1}{3}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{k = \frac{2}{3}}\end{array}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = \left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

Suy ra \(V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{B_1}{C_1}} ,\overrightarrow {{C_1}{D_1}} } \right]} \right| = \frac{{16}}{{81}}\) (đơn vị thể tích trên trục)

Do đó \(V = \frac{{16}}{{81}} \cdot {\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 2 }}{{162}}\) (đơn vị thể tích)

Vậy \(a + b = 163\)