Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá \(300\) sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm \(\left( {1 \le x \le 300} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F\left( x \right) = - 7{x^2} + 1700x\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là \(G\left( x \right) = 0,004{x^2} - 1,6x + 500 + \frac{{16000}}{x}\) (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án: 0,05.

Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu của phép thử.

Ta có \(n\left( \Omega \right) = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\).

Gọi \(A\) là biến cố lấy được \(4\) quả cầu ghi các số có tổng bằng \(15\). Ta giả sử các số đó \(a\), \(b\),\(c\), \(d\).

Theo giả thiết \(a + b + c + d = 15\).

Suy ra \(\left( {a,b,c,d} \right) \in \left\{ {\left( {1;2;3;9} \right),\left( {1,2,4,8} \right),\left( {1,2,5,7} \right),\left( {1,3,5,6} \right),\left( {1,3,4,7} \right),\left( {2,3,4,6} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6 \times 4!\).

Vậy xác suất cẩn tính \(P\left( A \right) = \frac{{6 \times 4!}}{{9 \times 8 \times 7 \times 6}} \approx 0,05\).

Đáp án: 3.

Gọi \(O,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,AB\) và \(H = BO \cap CI.\)

Kẻ \(HK \bot SC\) tại \(K.\)

Ta có:

\(\widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CI \bot AB\), mà \(AB \bot SC \Rightarrow AB \bot (SCI)\) nên \(AB \bot SI\) \( \Rightarrow \Delta SAB\)cân tại \(S\) (trung tuyến còn đường cao).

Suy ra \(SA = SB\)\(,\Delta ABC,\Delta SAC\)đều nên \(SABC\) là tứ diện đều. Khi đó, \(SH \bot (ABCD).\)

Vì

\( \Rightarrow HK \bot (SCD) \Rightarrow {\rm{d}}(H,(SCD)) = HK\)

Ta lại có

\( \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = {\rm{d}}(AB,(SCD)) = {\rm{d}}(B,(SCD)) = \frac{3}{2}{\rm{d}}(H,(SCD)) = \frac{3}{2}HK.\)

Tính \(HK.\)

Ta có \(CH = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3}.\frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 6 \Rightarrow HK = \frac{{CH.HS}}{{SC}} = \frac{{CH\sqrt {S{C^2} - C{H^2}} }}{{SC}} = 2.\)

Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = \frac{3}{2}.2 = 3.\)