Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b \], \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \], \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d \].

Trong các biểu thức vectơ sau đây thì biểu thức nào là đúng?

[MĐ4] Công tử Bạc Liêu có một mảnh đất hình vuông ở một khu đô thị sầm uất, hình vuông có cạnh \(40{\rm{ m}}\), công tử dự định xây một hồ bơi được giới hạn bởi cạnh \(AB\) của hình vuông và một parabol đi qua hai đầu mút cạnh đó, đỉnh của parabol cách cạnh \(AB\) một đoạn \(10{\rm{ m}}\). Từ vị trí \(O\) là trung điểm \[AB,\] kẻ tia \(Ot\) bất kì cắt parabol và một cạnh khác của hình vuông theo thứ tự tại các điểm \(M,N\). Gọi \(P\) là trung điểm \[MN,\]khi tia \(Ot\) quay quanh gốc \(O\) thì tập hợp các điểm \(P\) tạo thành đường cong \((L)\). Công tử dự định sử dụng một loại gạch men đặc biệt để lát nền cho toàn bộ khu vực được giới hạn bởi đường cong \((L)\) và parabol. Phần còn lại trên mảnh đất hình vuông đó thì công tử sẽ trồng cỏ.

Biết rằng chi phí xây hồ bơi là \(5\) triệu đồng/\({m^2}\), chi phí lát gạch men là \(2\) triệu đồng/\({m^2}\), chi phí trồng cỏ tự nhiên là \(100\)nghìn đồng/\({m^2}\). Tính tổng số tiền mà công tử Bạc Liêu phải chi trả cho toàn bộ dự án trên theo đơn vị tỷ đồng (làm tròn đến hàng phần chục).

Một chậu nước có dạng một khối tròn xoay với thiết diện qua trục của chậu (mặt cắt đi qua hai tâm của hai đường tròn đáy) là hai đường parabol đối xứng nhau qua trục đó.

Biết hai đường tròn đáy chậu cùng có bán kính bằng \(0,5\,m\); thiết diện nhỏ nhất vuông góc với trục của chậu có bán kính \(0,2\,m\); chiều cao của chậu nước bằng \(1,5\,m\). Người ta bơm nước vào chậu với tốc độ \(5\) lít/phút. Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(O\) trùng với tâm đường tròn đáy của chậu nước, tia \(Ox\) chứa trục của chậu nước (đơn vị trên mỗi trục là mét). Mặt cắt qua trục của chậu nước cho ta hai nhánh parabol như hình vẽ. Gọi \(y = f\left( x \right)\) là parabol nằm phía trên trục hoành. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau?

Hộp A chứa 4 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Hộp B chứa 2 quả bóng đỏ và 4 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp A bỏ vào hộp B, sau đó lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp B. Hãy xét tính Đúng/Sai của các mệnh đề sau (hoặc tính các xác suất liên quan):

Một loại gạch men có kích thước hình vuông \(60 \times 60{\rm{ cm}}\). Người ta thiết kế hoa văn cho viên gạch bằng cách tạo đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) nội tiếp hình vuông ban đầu, phần nằm ngoài đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) mà thuộc viên gạch thì được tô màu đậm. Tiếp theo họ tạo ra một hình vuông nội tiếp đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\), bên trong hình vuông này lại có một đường tròn nội tiếp \(\left( {{C_2}} \right)\); và họ tiếp tục tô màu đậm cho phần nằm ngoài đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) mà thuộc hình vuông này. Quy luật này cứ tiếp tục vô hạn lần (tham khảo hình vẽ).

Hỏi tổng diện tích thuộc về viên gạch được tô màu đậm là bao nhiêu cm vuông? Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị của cm vuông.