Một cửa hàng cần nhập 2500 chiếc máy tính bảng trong 1 năm. Cửa hàng chọn chia thành nhiều đợt giao hàng, mỗi đợt giao \(x\) chiếc \(\left( {1 \le x \le 2500,\,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Công ty vận chuyển tính phí cho mỗi đợt như sau:

+ Phí điều xe cố định: 20 đô la/ đợt.

+ Phí an ninh- bảo hiểm cho lô hàng lớn: \(0,002{x^2}\) đô la/ đợt.

Hỏi mỗi đợt công ty nên vận chuyển bao nhiêu máy tính bảng để tổng chi phí vận chuyển trong năm là nhỏ nhất?

Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta dễ dàng tìm được \((P):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + 10\).

Diện tích hồ bơi là: \({S_b} = 2\int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + 10} \right)} = \frac{{800}}{3}\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ot\) và trục \(Ox\).

Lúc đó: \[M(OM\cos \alpha ;OM{\rm{ sin}}\alpha {\rm{)}}\]. Vì \[M \in \left( P \right)\]\( \Rightarrow OM{\rm{ sin}}\alpha = \frac{{ - 1}}{{40}}{\left( {OM{\rm{ cos}}\alpha } \right)^2} + 10\).

\[ \Rightarrow O{M^2}{\rm{ }}{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)^2} + 40OM{\rm{ sin}}\alpha - 400 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}OM = \frac{{ - 20\sin \alpha - 20}}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}\\OM = \frac{{ - 20\sin \alpha + 20}}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}\end{array} \right.\].

Ta chọn \(OM = \frac{{20 - 20\sin \alpha }}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}} = \frac{{20}}{{1 + \sin \alpha }}\).

TH1: \(\alpha \in \left[ {0,\arctan 2} \right] \Rightarrow ON = \frac{{20}}{{{\rm{cos}}\alpha }}\). Suy ra: \(OP = \frac{{OM + ON}}{2} = \frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{10}}{{{\rm{cos}}\alpha }}\).

TH2: \(\alpha \in \left[ {\arctan 2,\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow ON = \frac{{40}}{{{\rm{sin}}\alpha }}\). Suy ra: \(OP = \frac{{OM + ON}}{2} = \frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{20}}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).

\[{S_{(L)}} = 2\left[ {\frac{1}{2}\int\limits_0^{\arctan 2} {{{\left( {\frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{10}}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)}^2}} {\rm{d}}\alpha + \frac{1}{2}\int\limits_{\arctan 2}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{20}}{{{\rm{sin}}\alpha }}} \right)}^2}} {\rm{d}}\alpha } \right] = 756,3({m^2})\].

Tổng chi phí:

\(5.{S_b} + 2.\left( {{S_L} - {S_b}} \right) + 0,1\left( {{S_V} - {S_L}} \right) = 5.\frac{{800}}{3} + 2.\left( {756,3 - \frac{{800}}{3}} \right) + 0,1\left( {1600 - 756,3} \right) = 2396,97 \approx 2,4\)tỉ.

Lưu ý: Ở trên ta sử dụng công thức của bổ đề sau:

Cho một đương cong ( \(L\) ) có phương trình trong hệ tọa độ cực là \(r = r\left( \theta \right)\), với \(\alpha \le \theta \le \beta \). Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( L \right)\) và hai tia \(\theta = \alpha ,\theta = \beta \).

\(S = \int_\alpha ^\beta {\frac{1}{2}} {[r(\theta )]^2}d\theta \).

a) Đúng

Tại thời điểm \(t = 0\), vận tốc của con lắc đơn là \(v\left( 0 \right) = 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 1\). Đáp án a Đúng.

b) Sai

Đạo hàm của \(v\left( t \right)\)là \(v'\left( t \right) = 4\cos \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)\). Đáp án b Sai.

c) Đúng.

Phương trình \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 4\cos \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2} \Rightarrow \) phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{6}\). Đáp án c Đúng.

d) Đúng.

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, con lắc đơn có 4 lần đạt vận tốc lớn nhất.

Ta có: \(v\left( t \right) = 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow - 2 \le v\left( t \right) \le 2\) với mọi t

Suy ra: \(v{\left( t \right)_{\max }} = 2 \Leftrightarrow \sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + k\pi \)

Do \(0 \le t \le 10 \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{17\pi }}{6}} \right\}\). Vậy có 4 giá trị. Đáp án d Đúng.