Vận tốc \(v\left( t \right)\) (tính bằng centimet / giây) của một con lắc đơn theo thời gian t được cho bởi công thức: \(v\left( t \right) = 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Gọi \(y = f\left( x \right)\)\( = a{x^2} + bx + c\).

Parabol cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;0,5} \right)\) và đỉnh \(I\left( {0,75;0,2} \right)\)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0,5\\a{\left( {0,75} \right)^2} + b.0,75 + c = 0,2\\ - \frac{b}{{2a}} = 0,75\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{1}{2}\\\frac{{9a}}{{16}} + \frac{{3b}}{4} + c = \frac{1}{5}\\3a + 2b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{{15}}\\b = - \frac{4}{5}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra: \(f\left( x \right) = \frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}\). Mệnh đề a) đúng.

b) Thể tích của chậu nước bằng

\(V = \pi \int\limits_0^{1,5} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi \int\limits_0^{1,5} {{{\left[ {\frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \)\( \approx 0,4618141201 \approx 0,5\). Mệnh đề b) đúng.

c) Tốc độ bơm nước vào bể \(5\) lít/phút \( = 5\,d{m^3}\)/phút \( = {5.10^{ - 3}}\,{m^3}\)/phút

Thể tích nước bơm sau \(1,5\) giờ \( = 1,5 \times 60 = 90\) phút là \({5.10^{ - 3}} \times 90 = 0,45 \approx 0,5\,\,{m^3}\). Mệnh đề c) đúng.

d) Gọi \(h\) là độ cao của nước trong chậu sau khi bơm được \(t\) phút.

Ta có: \({V_h} = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right)\) \({m^3}\).

Thể tích nước bơm sau \(t\) phút là \(V = 0,005t\,{m^3}\)

Khi đó: \(\pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right) = 0,005t\)        \(\left( * \right)\).

Tại thời điểm \(t = 20\) ta có: \(\pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right) = 0,1\)\( \Rightarrow {h_0} \approx 0,1640803548\).

Đạo hàm theo biến \(t\) hai vế của \(\left( * \right)\) ta được:\(\left( {\frac{{64}}{{225}}{h^4} - \frac{{64}}{{75}}{h^3} + \frac{{264}}{{225}}{h^2} - \frac{4}{5}h + \frac{1}{4}} \right)h'\left( t \right) = \frac{{0,005}}{\pi }\)

Tốc độ dâng lên của nước

        \(v\left( t \right) = h'\left( t \right) = \frac{{0,005}}{{\pi \left( {\frac{{64}}{{225}}{h^4} - \frac{{64}}{{75}}{h^3} + \frac{{264}}{{225}}{h^2} - \frac{4}{5}h + \frac{1}{4}} \right)}}\)  

Tại thời điểm \(t = 20\),\({h_0} \approx 0,1640803548\) tốc độ dâng của nước là:

        \(v\left( {20} \right) = h'\left( {20} \right) = \frac{{0,005}}{{\pi \left( {\frac{{64}}{{225}}h_0^4 - \frac{{64}}{{75}}h_0^3 + \frac{{264}}{{225}}h_0^2 - \frac{4}{5}{h_0} + \frac{1}{4}} \right)}}\)

Đáp án: 80.

Ta có: \(A = (0;0;0)\) và \(B = (0;600;0)\).
Độ dài quãng đường \(AB\) là \(AB = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(600 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{0^2} + {{600}^2} + {0^2}} = 600\) (m).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là 6 phút.
Tốc độ của xe mô tô khi đi từ \(A\) đến \(B\) là: \(v = \frac{{AB}}{6} = \frac{{600}}{6} = 100\) (m/phút).
Sau khi đổi hướng tại \(B\), xe đi từ \(B(0;600;0)\) đến \(C(1500;600;0)\) với tốc độ không đổi \(v = 100\) m/phút.
Giả sử tại thời điểm \(t\) (phút) kể từ khi đổi hướng tại \(B\), xe đang ở vị trí \(M(x;y;z)\).
Vecto chỉ phương của đoạn \(BC\) là: \({\vec u_{BC}} = \frac{{\overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{(1500 - 0;600 - 600;0 - 0)}}{{\sqrt {{{1500}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{(1500;0;0)}}{{1500}} = (1;0;0)\).
Vị trí của xe tại thời điểm \(t\) là: \(M(t) = B + v \cdot t \cdot {\vec u_{BC}}\)
\(M(t) = (0;600;0) + 100 \cdot t \cdot (1;0;0)\)
\(M(t) = (0 + 100t;600 + 0;0 + 0)\)
\(M(t) = (100t;600;0)\).
Khoảng cách từ xe mô tô đến vị trí xuất phát \(A(0;0;0)\) tại thời điểm \(t\) là \(D(t)\):
\(D(t) = |\overrightarrow {AM(t)} | = \sqrt {{{(100t - 0)}^2} + {{(600 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} \)\( = \sqrt {{{(100t)}^2} + {{600}^2}} \)\( = 100\sqrt {{t^2} + 36} \).
Tốc độ thay đổi khoảng cách của xe mô tô đối với vị trí xuất phát \(A\) chính là đạo hàm của \(D\left( t \right)\) theo \(t\):
\(D'\left( t \right) = {\left( {100\sqrt {{t^2} + 36} } \right)^\prime }\)\( = 100 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{t^2} + 36} }} \cdot (2t)\)\( = \frac{{100t}}{{\sqrt {{t^2} + 36} }}\).
Tại phút thứ 8 kể từ khi xe đổi hướng, tức là \(t = 8\) phút.
Thay \(t = 8\) vào biểu thức \(D'\left( t \right)\) ta được:
\(D'\left( 8 \right) = \frac{{100 \cdot 8}}{{\sqrt {{8^2} + 36} }}\)\( = \frac{{800}}{{\sqrt {64 + 36} }}\)\( = \frac{{800}}{{\sqrt {100} }}\)\( = \frac{{800}}{{10}}\)\( = 80\) (m/phút).
Vậy, ở phút thứ 8 kể từ khi xe đổi hướng, tốc độ thay đổi khoảng cách của xe mô tô đối với vị trí xuất phát \(A\) là 80 m/phút.