Một chậu nước có dạng một khối tròn xoay với thiết diện qua trục của chậu (mặt cắt đi qua hai tâm của hai đường tròn đáy) là hai đường parabol đối xứng nhau qua trục đó.

Biết hai đường tròn đáy chậu cùng có bán kính bằng \(0,5\,m\); thiết diện nhỏ nhất vuông góc với trục của chậu có bán kính \(0,2\,m\); chiều cao của chậu nước bằng \(1,5\,m\). Người ta bơm nước vào chậu với tốc độ \(5\) lít/phút. Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(O\) trùng với tâm đường tròn đáy của chậu nước, tia \(Ox\) chứa trục của chậu nước (đơn vị trên mỗi trục là mét). Mặt cắt qua trục của chậu nước cho ta hai nhánh parabol như hình vẽ. Gọi \(y = f\left( x \right)\) là parabol nằm phía trên trục hoành. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau?

Đáp án: 80.

Ta có: \(A = (0;0;0)\) và \(B = (0;600;0)\).
Độ dài quãng đường \(AB\) là \(AB = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(600 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{0^2} + {{600}^2} + {0^2}} = 600\) (m).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là 6 phút.
Tốc độ của xe mô tô khi đi từ \(A\) đến \(B\) là: \(v = \frac{{AB}}{6} = \frac{{600}}{6} = 100\) (m/phút).
Sau khi đổi hướng tại \(B\), xe đi từ \(B(0;600;0)\) đến \(C(1500;600;0)\) với tốc độ không đổi \(v = 100\) m/phút.
Giả sử tại thời điểm \(t\) (phút) kể từ khi đổi hướng tại \(B\), xe đang ở vị trí \(M(x;y;z)\).
Vecto chỉ phương của đoạn \(BC\) là: \({\vec u_{BC}} = \frac{{\overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{(1500 - 0;600 - 600;0 - 0)}}{{\sqrt {{{1500}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{(1500;0;0)}}{{1500}} = (1;0;0)\).
Vị trí của xe tại thời điểm \(t\) là: \(M(t) = B + v \cdot t \cdot {\vec u_{BC}}\)
\(M(t) = (0;600;0) + 100 \cdot t \cdot (1;0;0)\)
\(M(t) = (0 + 100t;600 + 0;0 + 0)\)
\(M(t) = (100t;600;0)\).
Khoảng cách từ xe mô tô đến vị trí xuất phát \(A(0;0;0)\) tại thời điểm \(t\) là \(D(t)\):
\(D(t) = |\overrightarrow {AM(t)} | = \sqrt {{{(100t - 0)}^2} + {{(600 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} \)\( = \sqrt {{{(100t)}^2} + {{600}^2}} \)\( = 100\sqrt {{t^2} + 36} \).
Tốc độ thay đổi khoảng cách của xe mô tô đối với vị trí xuất phát \(A\) chính là đạo hàm của \(D\left( t \right)\) theo \(t\):
\(D'\left( t \right) = {\left( {100\sqrt {{t^2} + 36} } \right)^\prime }\)\( = 100 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{t^2} + 36} }} \cdot (2t)\)\( = \frac{{100t}}{{\sqrt {{t^2} + 36} }}\).
Tại phút thứ 8 kể từ khi xe đổi hướng, tức là \(t = 8\) phút.
Thay \(t = 8\) vào biểu thức \(D'\left( t \right)\) ta được:
\(D'\left( 8 \right) = \frac{{100 \cdot 8}}{{\sqrt {{8^2} + 36} }}\)\( = \frac{{800}}{{\sqrt {64 + 36} }}\)\( = \frac{{800}}{{\sqrt {100} }}\)\( = \frac{{800}}{{10}}\)\( = 80\) (m/phút).
Vậy, ở phút thứ 8 kể từ khi xe đổi hướng, tốc độ thay đổi khoảng cách của xe mô tô đối với vị trí xuất phát \(A\) là 80 m/phút.

Đáp án: 1127.

Vì đường đi chỉ sang phải có 9 cách, và chỉ đi xuống có 5 cách, nên số cách đi từ \(A\) đến \(B\) là

\(C_{14}^5 = 2002\)cách.

Số cách đi sang phải từ \(A\) đến \(E\) là 4 cách và số cách đi xuống từ \(A\) đến \(E\) là 3 cách nên số cách đi từ \(A\) đến \(E\) là \(C_7^3 = 35\) cách.

Số cách đi sang phải từ \(E\) đến \(B\) là 5 cách và số cách đi xuống từ \(E\) đến \(B\) là 2 cách nên số cách đi từ \(E\) đến \(B\) là \(C_7^5 = 21\) cách.

\( \Rightarrow \)số cách đi từ \(A\) đến \(E\) rồi đến \(B\) là \(35.21 = 735\).

Số cách đi sang phải từ \(A\) đến \(M\) là 6 cách và sô cách đi xuống từ \(A\) đến \(M\) là 1 cách nên số cách đi từ \(A\) đến \(M\) là \(C_7^1 = 7\) cách.

Đi từ \(M\) đi xuống \(N\) có 1 cách.

Số cách đi sang phải từ \(N\) đến \(B\) là 3 cách và sô cách đi xuống từ \(N\) đến \(B\) là 3 cách nên số cách đi từ \(N\) đến \(B\) là \(C_6^3 = 20\) cách.

\( \Rightarrow \)số cách đi từ \(A\) đến \(M\) rồi \(N\) rồi đến \(B\) là \(7.1.20 = 140\).

\( \Rightarrow \)Số cách đi từ \(A\) đến \(B\) của bé cún là \(2002 - 735 - 140 = 1127\) cách.