Một chậu nước có dạng một khối tròn xoay với thiết diện qua trục của chậu (mặt cắt đi qua hai tâm của hai đường tròn đáy) là hai đường parabol đối xứng nhau qua trục đó.

Biết hai đường tròn đáy chậu cùng có bán kính bằng \(0,5\,m\); thiết diện nhỏ nhất vuông góc với trục của chậu có bán kính \(0,2\,m\); chiều cao của chậu nước bằng \(1,5\,m\). Người ta bơm nước vào chậu với tốc độ \(5\) lít/phút. Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(O\) trùng với tâm đường tròn đáy của chậu nước, tia \(Ox\) chứa trục của chậu nước (đơn vị trên mỗi trục là mét). Mặt cắt qua trục của chậu nước cho ta hai nhánh parabol như hình vẽ. Gọi \(y = f\left( x \right)\) là parabol nằm phía trên trục hoành. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau?

Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta dễ dàng tìm được \((P):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + 10\).

Diện tích hồ bơi là: \({S_b} = 2\int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + 10} \right)} = \frac{{800}}{3}\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ot\) và trục \(Ox\).

Lúc đó: \[M(OM\cos \alpha ;OM{\rm{ sin}}\alpha {\rm{)}}\]. Vì \[M \in \left( P \right)\]\( \Rightarrow OM{\rm{ sin}}\alpha = \frac{{ - 1}}{{40}}{\left( {OM{\rm{ cos}}\alpha } \right)^2} + 10\).

\[ \Rightarrow O{M^2}{\rm{ }}{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)^2} + 40OM{\rm{ sin}}\alpha - 400 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}OM = \frac{{ - 20\sin \alpha - 20}}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}\\OM = \frac{{ - 20\sin \alpha + 20}}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}}\end{array} \right.\].

Ta chọn \(OM = \frac{{20 - 20\sin \alpha }}{{{{\left( {{\rm{cos}}\alpha } \right)}^2}}} = \frac{{20}}{{1 + \sin \alpha }}\).

TH1: \(\alpha \in \left[ {0,\arctan 2} \right] \Rightarrow ON = \frac{{20}}{{{\rm{cos}}\alpha }}\). Suy ra: \(OP = \frac{{OM + ON}}{2} = \frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{10}}{{{\rm{cos}}\alpha }}\).

TH2: \(\alpha \in \left[ {\arctan 2,\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow ON = \frac{{40}}{{{\rm{sin}}\alpha }}\). Suy ra: \(OP = \frac{{OM + ON}}{2} = \frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{20}}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).

\[{S_{(L)}} = 2\left[ {\frac{1}{2}\int\limits_0^{\arctan 2} {{{\left( {\frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{10}}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)}^2}} {\rm{d}}\alpha + \frac{1}{2}\int\limits_{\arctan 2}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\frac{{10}}{{1 + \sin \alpha }} + \frac{{20}}{{{\rm{sin}}\alpha }}} \right)}^2}} {\rm{d}}\alpha } \right] = 756,3({m^2})\].

Tổng chi phí:

\(5.{S_b} + 2.\left( {{S_L} - {S_b}} \right) + 0,1\left( {{S_V} - {S_L}} \right) = 5.\frac{{800}}{3} + 2.\left( {756,3 - \frac{{800}}{3}} \right) + 0,1\left( {1600 - 756,3} \right) = 2396,97 \approx 2,4\)tỉ.

Lưu ý: Ở trên ta sử dụng công thức của bổ đề sau:

Cho một đương cong ( \(L\) ) có phương trình trong hệ tọa độ cực là \(r = r\left( \theta \right)\), với \(\alpha \le \theta \le \beta \). Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( L \right)\) và hai tia \(\theta = \alpha ,\theta = \beta \).

\(S = \int_\alpha ^\beta {\frac{1}{2}} {[r(\theta )]^2}d\theta \).

Đáp án: 1127.

Vì đường đi chỉ sang phải có 9 cách, và chỉ đi xuống có 5 cách, nên số cách đi từ \(A\) đến \(B\) là

\(C_{14}^5 = 2002\)cách.

Số cách đi sang phải từ \(A\) đến \(E\) là 4 cách và số cách đi xuống từ \(A\) đến \(E\) là 3 cách nên số cách đi từ \(A\) đến \(E\) là \(C_7^3 = 35\) cách.

Số cách đi sang phải từ \(E\) đến \(B\) là 5 cách và số cách đi xuống từ \(E\) đến \(B\) là 2 cách nên số cách đi từ \(E\) đến \(B\) là \(C_7^5 = 21\) cách.

\( \Rightarrow \)số cách đi từ \(A\) đến \(E\) rồi đến \(B\) là \(35.21 = 735\).

Số cách đi sang phải từ \(A\) đến \(M\) là 6 cách và sô cách đi xuống từ \(A\) đến \(M\) là 1 cách nên số cách đi từ \(A\) đến \(M\) là \(C_7^1 = 7\) cách.

Đi từ \(M\) đi xuống \(N\) có 1 cách.

Số cách đi sang phải từ \(N\) đến \(B\) là 3 cách và sô cách đi xuống từ \(N\) đến \(B\) là 3 cách nên số cách đi từ \(N\) đến \(B\) là \(C_6^3 = 20\) cách.

\( \Rightarrow \)số cách đi từ \(A\) đến \(M\) rồi \(N\) rồi đến \(B\) là \(7.1.20 = 140\).

\( \Rightarrow \)Số cách đi từ \(A\) đến \(B\) của bé cún là \(2002 - 735 - 140 = 1127\) cách.