Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[R\] và hàm số \[y = f'\left( x \right)\] là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau

 

a) Từ đồ thị ta có hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có dạng \[f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\].

Đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] đi qua \[\left( {0; - 4} \right)\] nên \[a = 1\].

Do đó \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\].

Vậy \[f'\left( 2 \right) = 16\].

b) Dựa vào đồ thị hàm số \[f'\left( x \right)\] ta có \[f'\left( x \right) \le 0,\forall x \le 1\] và \[f'\left( x \right) > 0,\forall x > 1\] nên

Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\].

c) Ta có \[g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1{\rm{     }}\left( 1 \right)\]

Số nghiệm của \[\left( 1 \right)\] là số giao điểm của \[y = f\left( x \right)\]) và \[y = x - 1\]. Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng 1 hệ trục tọa độ ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ \[x = - 3,x = - 1,x = 1\].

Bảng biến thiên

Hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2026\] đồng biến trên khoảng \[\left( {1;2026} \right)\].

d) Vì từ đồ thị của hàm số \[y = f'\left( x \right)\] ta thấy \[y = f'\left( x \right)\] chỉ đổi dấu một lần qua \[x = 1\] nên hàm số có một điểm cực trị.