Hình dưới đây là hình ảnh Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (như hình vẽ) với \(O\) là điểm nằm trên bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục \(Oz\) trùng với cột trụ, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt nước và trục \(Oy\) cùng phương với cầu (đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét). Dây cáp \(AD\) (xem như một đoạn thẳng) nối điểm \(D\) thuộc trục \(Oz\) với một điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\). Biết điểm \(D\) là đỉnh cột trụ, cách mặt nước 227 m; điểm \(A\) cách mặt nước 75 m và cách trục \(Oz\) một khoảng bằng 343 m.

Thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, với gốc \(O\) nằm ở chân cột trụ tại mặt nước, trục \(Oz\) trùng với cột trụ, mặt phẳng \(Oxy\) là mặt nước và trục \(Oy\) cùng phương với cầu. Đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét.

a) Đúng.

Điểm \(D\) thuộc trục \(Oz\) và cách mặt nước \(227\) m. Do đó, \(D\) có tọa độ là \((0;0;227)\).

b) Đúng.

Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((Oyz)\) nên hoành độ của \(A\) là \({x_A} = 0\).

Điểm \(A\) cách mặt nước \(75\) m nên tung độ \({z_A} = 75\).

Điểm \(A\) cách trục \(Oz\) một khoảng \(343\) m. Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng \((Oyz)\) đến trục \(Oz\) chính là giá trị tuyệt đối của tung độ \(y\). Từ hình vẽ, điểm \(A\) nằm ở phía dương của trục \(Oy\), nên \({y_A} = 343\).

Vậy tọa độ điểm \(A\) là \((0;343;75)\).

Tọa độ của vector \(\overrightarrow {AD} \) là: \(\overrightarrow {AD} = (0 - 0;0 - 343;227 - 75) = (0; - 343;152)\).

c) Đúng.

Độ dài \(AD = |\overrightarrow {AD} | = \sqrt {{0^2} + {{( - 343)}^2} + {{152}^2}} \)\( = \sqrt {117649 + 23104} \)\( \approx 375.1706\)

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được \(AD \approx 375.17\) m.

d) Sai.

Điểm \(M\) trên thành cầu.

\(M\) cách mặt nước \(75\) m nên \({z_M} = 75\).

\(M\) cách trục \(Oz\) một khoảng \(230\) m. Tương tự như điểm \(A\), từ hình vẽ, \(M\) nằm ở phía dương của trục \(Oy\), nên \({y_M} = 230\).

Vì \(M\) cũng nằm trên cầu như \(A\), ta giả định \(M\) cũng thuộc mặt phẳng \((Oyz)\), nên \({x_M} = 0\).

Vậy tọa độ điểm \(M\) là \((0;230;75)\).

Điểm \(N\) nằm trên dây cáp \(AD\) và đoạn \(MN\) song song với cột trụ (\(Oz\)).

Vì \(MN\) song song với \(Oz\), nên hoành độ và tung độ của \(N\) phải bằng hoành độ và tung độ của \(M\).

Do đó, \(N = (0;230;{z_N})\).

Điểm \(N\) nằm trên đoạn thẳng \(AD\). Ta có: \(A = (0;343;75)\), \(D = (0;0;227)\).

Một điểm \(N(x;y;z)\) nằm trên \(AD\) có thể được biểu diễn như sau: \(\overrightarrow {AN} = k \cdot \overrightarrow {AD} \) với \(k \in [0;1]\).

\( \Rightarrow ({x_N} - {x_A};{y_N} - {y_A};{z_N} - {z_A}) = k({x_D} - {x_A};{y_D} - {y_A};{z_D} - {z_A})\)

\( \Rightarrow (0; - 113;{z_N} - 75) = k(0; - 343;152)\)

Từ hoành độ: \(0 = k \cdot 0\) (luôn đúng).

Từ tung độ: \( - 113 = k( - 343) \Rightarrow k = \frac{{ - 113}}{{ - 343}} = \frac{{113}}{{343}}\).

Từ cao độ: \({z_N} - 75 = k \cdot 152\)\( = 75 + \frac{{17176}}{{343}} = \frac{{42901}}{{343}}\).

Tọa độ điểm \(N\) là \(\left( {0;230;\frac{{42901}}{{343}}} \right)\).

Độ dài đoạn đèn LED \(MN\) là khoảng cách giữa \(M\) và \(N\). Vì \({x_M} = {x_N}\) và \({y_M} = {y_N}\), độ dài \(MN\) chính là giá trị tuyệt đối của hiệu các cao độ \(z\):

\(MN = |{z_N} - {z_M}| = \left| {\frac{{42901}}{{343}} - 75} \right|\)\( = \frac{{17176}}{{343}}\)\( \approx 50,0758\).

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được \(MN \approx 50,08\) m.