Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 4 m, chiều rộng 3 m và chiều cao 3 m. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt sàn (xem hình vẽ), đơn vị đo được lấy theo mét. Trên bức tường thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có một cột dạng hình hộp chữ nhật nhô ra với chiều dài 0,4 m, chiều rộng 0,2 m. Bác Nam lắp một bóng đèn trên tường tại vị trí điểm \(A\left( {1;0;2,5} \right)\) và công tắc bóng đèn đặt tại điểm \(B\left( {0,5;4;1} \right)\). Dây cấp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện dọc theo các bức tường (không đi qua trần nhà, sàn nhà) và nối đến bóng đèn. Hỏi bác phải dùng đoạn dây điện có độ dài tối thiểu là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: \[1,5\].

Thể tích nước sau 2 phút là \[4,75.2 = 9,5\;\left( {lit} \right) = 9,5\;\left( {d{m^3}} \right)\].

Vì lúc đầu chậu không có nước nên phần nước bơm vào chiếm chỗ bằng một khối chóp cụt tứ giác đều với cạnh đáy lần lượt là \[A'D' = 2\;\left( {dm} \right)\], \[{A_1}{D_1} = x\;\left( {dm} \right)\] và chiều cao \[A'K = h\;\left( {dm} \right)\].

Có \[AC = 4\sqrt 2 \;\left( {dm} \right),\;A'C' = 2\sqrt 2 \;\left( {dm} \right)\], suy ra \[AH = \frac{{AC - A'C'}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 - 2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \;\left( {dm} \right)\]

Và \[{A_1}{C_1} = x\sqrt 2 \;\left( {dm} \right)\], suy ra \[{A_1}K = \frac{{{A_1}{C_1} - A'C'}}{2} = \frac{{x\sqrt 2 - 2\sqrt 2 }}{2}\;\left( {dm} \right)\].

Mặt khác, trong tam giác \[A'AH\] theo Ta-lét có \[\frac{{{A_1}K}}{{AH}} = \frac{{A'K}}{{A'H}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{x\sqrt 2 - 2\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{h}{3} \Leftrightarrow h = 3.\frac{{x - 2}}{2}\].

Có \[{V_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}h.\left( {{x^2} + {2^2} + \sqrt {{x^2}{{.2}^2}} } \right) = 9,5\]\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{2}.\left( {{x^2} + 4 + 2x} \right) = 9,5\]\[ \Leftrightarrow x = 3\].

Vậy \[h = 3.\frac{{3 - 2}}{2} = 1,5\].

d) Đúng

Ta có phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành (\(y = 0\)): \(4,8\sin \left( {\frac{x}{9}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} = k\pi \).

Tại \(O\), \(x = 0\). Điểm \(A\) ứng với \(k = 1\) (nghiệm dương nhỏ nhất), suy ra \({x_A} = 9\pi \).

Chiều rộng sông: \(OA = 9\pi \approx 28,274\) mét.

Làm tròn đến hàng phần mười: \(28,3\) m.

Kết luận: Đúng.

b) Sai

Đỉnh cầu (điểm cao nhất): Khi \(\sin \left( {\frac{x}{9}} \right) = 1 \Rightarrow {y_{\max }} = 4,8\) mét.

Vậy đỉnh cầu cao \(4,8\)m so với mặt nước.

Kết luận: Sai.

c) Đúng

Ta cần tìm độ rộng của phần vòm cầu có độ cao \(y \ge 3,6\).

Giải phương trình:

(với \(\alpha \approx 0,848...\) )

Vị trí 1 (Bên trái): \({x_1} = 9 \cdot \alpha \)

Vị trí 2 (Bên phải): \({x_2} = 9 \cdot (\pi - \alpha )\)

Chiều rộng tối đa cho phép = \({x_2} - {x_1} \approx 20,6415 - 7,632 = 13,0095\) m.

Làm tròn đến hàng phần trăm: 13,01

Kết luận: Đúng

a) Sai

Ta có: muốn xà lan đi lọt thì phải đi vào giữa, và chiều cao của khối hàng hóa mép ngoài cùng (\({x_2}\)) phải nhỏ hơn chiều cao của cầu cũng tại vị trí (\({x_2}\))

Điểm chính giữa sông (trục đối xứng) có toạ độ: \({x_{giua}} = \frac{{9\pi }}{2} \approx 14,137{\rm{ }}(m)\)

Để sà lan đi qua dễ nhất, người lái tàu phải canh cho sà lan đi chính giữa sông (nơi cầu cao nhất).

Bề rộng sà lan là \(9{\rm{ }}m\). Vì đi chính giữa nên sà lan sẽ nằm về hai phía của tâm, mỗi bên một nửa là 4,5m

Khi sà lan đi qua, phần rủi ro va chạm nhất chính là hai mép ngoài cùng của thùng hàng (vì càng ra xa tâm, cầu càng thấp xuống).

Tọa độ \({x_2}\) của mép sà lan sẽ là: \({x_2} = {x_{m\'e p}} = {x_{giua}} + 4,5 = \frac{{9\pi }}{2} + 4,5\) và độ cao của cầu tại điểm có hoành độ \({x_2} = {x_{m\'e p}} = {x_{giua}} + 4,5 = \frac{{9\pi }}{2} + 4,5\) là\(y = 4,8 \cdot \sin \left( {\frac{{\frac{{9\pi }}{2} + 4,5}}{9}} \right) \approx 4,212{\rm{ }}(m)\).

Vậy chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,2 m chứ không phải 4,1m.

Kết luận: Sai