Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có \(SA = AB = 4\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\).

a) [TH] Ta có \[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BC} \]

b) [TH] Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAB\), ta có: \(\overrightarrow {DS} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = 3\overrightarrow {DG} \). Mặt khác, \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DM} \). Thay vào ta được: \(\overrightarrow {DS} + 2\overrightarrow {DM} = 3\overrightarrow {DG} \Rightarrow \overrightarrow {DS} = - 2\overrightarrow {DM} + 3\overrightarrow {DG} \).

c) [VD]Từ giả thiết ta có

·        \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {4;0;0} \right)\), \(C\left( {0;4;0} \right)\), \(D\left( { - 4;0;0} \right)\), \(A\left( {0; - 4;0} \right)\), \(S\left( {0;0;4} \right)\).\(M\) là trung điểm \(AB \Rightarrow M\left( {2; - 2;0} \right)\).

·        \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAB \Rightarrow G\left( {\frac{{0 + 4 + 0}}{3};\frac{{0 + 0 - 4}}{3};\frac{{4 + 0 + 0}}{3}} \right) = \left( {\frac{4}{3}; - \frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\).

·        Mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có các điểm \(B,D,S\) nên phương trình là \(y = 0\).

·        \(E \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow E\left( {a;0;c} \right)\).

·        \(C,E,G\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {CE} = k\overrightarrow {CG} \) và \(\overrightarrow {CE} = \left( {a; - 4;c} \right)\);

\(\overrightarrow {CG} = \left( {\frac{4}{3}; - \frac{4}{3} - 4;\frac{4}{3}} \right) = \left( {\frac{4}{3}; - \frac{{16}}{3};\frac{4}{3}} \right)\).

·        Tỉ số: \(\frac{a}{{4/3}} = \frac{{ - 4}}{{ - 16/3}} = \frac{c}{{4/3}} = \frac{3}{4}\).\( \Rightarrow a = 1,c = 1\).

Vậy \(E\left( {1;0;1} \right)\) hay \(a + b + c = 1 + 0 + 1 = 2\).

 d) [VDC]

Ta có \(F \in \left( {SAC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có phương trình \(x = 0\).; \(G\left( {\frac{4}{3}; - \frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\) và \(B\left( {4;0;0} \right)\).

·        Nhận thấy \({x_G} = \frac{4}{3} > 0\) và \({x_B} = 4 > 0\). Hai điểm \(G,B\) nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).Lấy đối xứng \(B\) qua \(\left( {SAC} \right)\) được \(B'\left( { - 4;0;0} \right)\) (chính là điểm \(D\)). Khi đó \(FG + FB = FG + FB'\). Tổng này nhỏ nhất khi \(F,G,B'\) thẳng hàng hay \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(GB'\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).Ta có \(\overrightarrow {B'G} = \left( {\frac{{16}}{3}; - \frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right) = \frac{4}{3}\left( {4; - 1;1} \right)\) nên phương trình \(GB'\): \(x = - 4 + 4t;y = - t;z = t\).

·        \(F \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow x = 0 \Rightarrow - 4 + 4t = 0 \Rightarrow t = 1\). Vậy \(F\left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow x = 0,y = - 1,z = 1\). Khi đó \(x + y + z = 0 - 1 + 1 = 0\).