Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\).

a) Chứng minh: \(GB = GC\);

b) Cho \(P\) là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh \(2AB > PB + PC\).

Gọi \(x;\,\,y;\,\,z\) (kg) lần lượt là khối lượng hàng hóa cần chuyển đến ba địa điểm  \(\left( {0 < x,\,\,y,\,\,z < 1\,\,350} \right)\).

Vì tổng khối lượng hàng hóa là 1 530 kg nên \(x + y + z = 1\,\,530\).

Vì khối lượng hàng hóa chuyển đến ba địa điểm tỉ lệ nghịch với khoảng cách nên ta có:

\(1500x = 2000y = 3000z\) hay \(15x = 20y = 30z\).

Suy ra, \(\frac{{15x}}{{60}} = \frac{{20y}}{{60}} = \frac{{30z}}{{60}}\) hay \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{{x + y + z}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{1530}}{9} = 170\)

Ta có: \(\frac{x}{4} = 170\) nên \(x = 170\,\,.\,\,4 = 680\) (thỏa mãn)

\(\frac{y}{3} = 170\) nên \(y = 170\,\,.\,\,3 = 510\) (thỏa mãn)

\(\frac{z}{2} = 170\) nên \(z = 170\,\,.\,\,2 = 340\) (thỏa mãn)

Vậy khối lượng ba đội công nhân vận chuyển lần lượt là 680 kg; 510 kg; 340 kg.

a) \[P\left( x \right) = \left( {2 + 5{x^3} - 8x + {x^2}} \right) - \left( {2{x^2} + 2x + 5{x^3} + 2} \right)\]

\[ = 2 + 5{x^3} - 8x + {x^2} - 2{x^2} - 2x - 5{x^3} - 2\]

\[ = \left( {5{x^3} - 5{x^3}} \right) + \left( {{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 8x - 2x} \right) + \left( {2 - 2} \right)\]

\( = 0 - {x^2} - 10x + 0\)\( =  - {x^2} - 10x\).

Vậy \(P\left( x \right) =  - {x^2} - 10x\).

b) Đa thức \(P\left( x \right) =  - {x^2} - 10x\) có nghiệm khi

\( - {x^2} - 10x = 0\)

\( - x\left( {x + 10} \right) = 0\).

Trường hợp 1: \( - x = 0\) nên \(x = 0\);

Trường hợp 2: \(x + 10 = 0\) nên \(x =  - 10\).

Do đó 0 là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\) và −1 không là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).