Cho \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và thỏa mãn \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\).

Tính giá trị biểu thức \(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}\).

a) Vì \(D\) là trọng tâm của \(\Delta BAF\) nên \(AD\) là một đường trung tuyến của \(\Delta BAF\).

a) Ta có \(T(x) = \frac{1}{2}M(x) + N(x)\)\[ = \frac{1}{2}\left( {\;3{x^4}--2{x^3} + 6{x^2} - x + 12} \right) + \left( {{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - 4x + 1} \right)\]

\[ = \frac{3}{2}{x^4}--{x^3} + 3{x^2} - \frac{1}{2}x + 6 + {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - 4x + 1\]

\[ = \left( {\frac{3}{2}{x^4} + {x^4}} \right) + \left( {\frac{2}{3}{x^3}--{x^3}} \right) + \left( {3{x^2} - 2{x^2}} \right) - \left( {4x + \frac{1}{2}x} \right) + \left( {6 + 1} \right)\]

\[ = \frac{5}{2}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} - \frac{9}{2}x + 7\].

Vậy \[T(x) = \frac{5}{2}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} - \frac{9}{2}x + 7\].

b) Thay \(x = 2\) vào đa thức \(T(x)\), ta được:

\[T(2) = \frac{5}{2}\,\,.\,\,{2^4} - \frac{2}{3}\,\,.\,\,{2^3} + {2^2} - \frac{9}{2}\,\,.\,\,2 + 7 = \frac{5}{2}\,\,.\,\,16 - \frac{2}{3}\,\,.\,\,8 + 4 - 9 + 7\]

\[ = 40 - \frac{{16}}{3} + 2 = \frac{{110}}{3}\].

Vậy khi \(x = 2\) thì giá trị của đa thức \(T(x)\)  bằng \[\frac{{110}}{3}\].