Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D\) và \(E\) là hai điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BD = DE = EC\). Vẽ đường trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABC\). Trên tia đối của tia \(OA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(OF = OA\).

a) Chứng minh \(D\) là trọng tâm của tam giác \(BAF\); \(E\) là trọng tâm của tam giác \(CAF\).

b) Tia \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\), tia \(FE\) cắt \(AC\) tại \(M\). Chứng minh ba điểm \(M,\,\,O,\,\,N\) thẳng hàng.

a) Ta có \(T(x) = \frac{1}{2}M(x) + N(x)\)\[ = \frac{1}{2}\left( {\;3{x^4}--2{x^3} + 6{x^2} - x + 12} \right) + \left( {{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - 4x + 1} \right)\]

\[ = \frac{3}{2}{x^4}--{x^3} + 3{x^2} - \frac{1}{2}x + 6 + {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - 4x + 1\]

\[ = \left( {\frac{3}{2}{x^4} + {x^4}} \right) + \left( {\frac{2}{3}{x^3}--{x^3}} \right) + \left( {3{x^2} - 2{x^2}} \right) - \left( {4x + \frac{1}{2}x} \right) + \left( {6 + 1} \right)\]

\[ = \frac{5}{2}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} - \frac{9}{2}x + 7\].

Vậy \[T(x) = \frac{5}{2}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} - \frac{9}{2}x + 7\].

b) Thay \(x = 2\) vào đa thức \(T(x)\), ta được:

\[T(2) = \frac{5}{2}\,\,.\,\,{2^4} - \frac{2}{3}\,\,.\,\,{2^3} + {2^2} - \frac{9}{2}\,\,.\,\,2 + 7 = \frac{5}{2}\,\,.\,\,16 - \frac{2}{3}\,\,.\,\,8 + 4 - 9 + 7\]

\[ = 40 - \frac{{16}}{3} + 2 = \frac{{110}}{3}\].

Vậy khi \(x = 2\) thì giá trị của đa thức \(T(x)\)  bằng \[\frac{{110}}{3}\].

1. a) \(\frac{{x - 1}}{{27}} = \frac{{ - 2}}{{3,6}}\)  

\(x - 1 = \frac{{\left( { - 2} \right)\,\,.\,\,27}}{{3,6}}\)

\(x - 1 =  - 15\)

\(x =  - 15 + 1\)

\(x =  - 14\)

Vậy \(x =  - 14\)

b) \(\frac{{27}}{4} = \frac{3}{{{x^2}}}\)

\({x^2} = \frac{{3\,\,.\,\,4}}{{27}}\)

\({x^2} = \frac{4}{9}\)

\[{x^2} = {\left( { \pm \frac{2}{3}} \right)^2}\]

\[x =  \pm \frac{2}{3}\].

Vậy \[x =  \pm \frac{2}{3}\].

2. a) \(\frac{a}{{12}} = \frac{b}{{13}} = \frac{c}{{15}}\) và \(a + b + c = 80\);                   

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{{12}} = \frac{b}{{13}} = \frac{c}{{15}} = \frac{{a + b + c}}{{12 + 13 + 15}} = \frac{{80}}{{40}} = 2\).

Suy ra \(a = 2\,\,.\,\,12 = 24;\,\,b = 2\,\,.\,\,13 = 26;\,\,c = 2\,\,.\,\,15 = 30\).

Vậy \(a = 24;\,\,b = 26;\,\,c = 30\).

b) Ta có \(\frac{a}{3} = \frac{b}{2};\,\,\frac{a}{4} = \frac{c}{5}\) suy ra \(\frac{a}{{12}} = \frac{b}{8};\,\,\frac{a}{{12}} = \frac{c}{{15}}\) hay \[\frac{a}{{12}} = \frac{b}{8} = \frac{c}{{15}}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{a}{{12}} = \frac{b}{8} = \frac{c}{{15}} = \frac{{a + b - c}}{{12 + 8 - 15}} = \frac{{10}}{5} = 2\].

Suy ra \(a = 2\,\,.\,\,\,12 = 24;\,\,b = 2\,\,.\,\,\,8 = 16;\,\,c = 2\,\,.\,\,\,15 = 30\).

Vậy \(a = 24;\,\,b = 16;\,\,c = 30\).