Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D\) và \(E\) là hai điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BD = DE = EC\). Vẽ đường trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABC\). Trên tia đối của tia \(OA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(OF = OA\).

a) Chứng minh \(D\) là trọng tâm của tam giác \(BAF\); \(E\) là trọng tâm của tam giác \(CAF\).

b) Tia \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\), tia \(FE\) cắt \(AC\) tại \(M\). Chứng minh ba điểm \(M,\,\,O,\,\,N\) thẳng hàng.

Đáp án đúng là: A

Ta có \[R(x) = P(x) - Q(x)\]\[ = \left( {{x^5} + 2{x^3} - {x^2} + 6} \right) - \left( { - 2{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 6} \right)\]

\[ = {x^5} + 2{x^3} - {x^2} + 6 + 2{x^4} - {x^3} - 3{x^2} - 6\]

\[ = {x^5} + 2{x^4} + \left( {2{x^3} - {x^3}} \right) - \left( {{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {6 - 6} \right)\]

\[ = {x^5} + 2{x^4} + {x^3} - 4{x^2}\].

Vậy \[R(x) = {x^5} + 2{x^4} + {x^3} - 4{x^2}\].

a) Ta có \(T(x) = \frac{1}{2}M(x) + N(x)\)\[ = \frac{1}{2}\left( {\;3{x^4}--2{x^3} + 6{x^2} - x + 12} \right) + \left( {{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - 4x + 1} \right)\]

\[ = \frac{3}{2}{x^4}--{x^3} + 3{x^2} - \frac{1}{2}x + 6 + {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - 4x + 1\]

\[ = \left( {\frac{3}{2}{x^4} + {x^4}} \right) + \left( {\frac{2}{3}{x^3}--{x^3}} \right) + \left( {3{x^2} - 2{x^2}} \right) - \left( {4x + \frac{1}{2}x} \right) + \left( {6 + 1} \right)\]

\[ = \frac{5}{2}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} - \frac{9}{2}x + 7\].

Vậy \[T(x) = \frac{5}{2}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} - \frac{9}{2}x + 7\].

b) Thay \(x = 2\) vào đa thức \(T(x)\), ta được:

\[T(2) = \frac{5}{2}\,\,.\,\,{2^4} - \frac{2}{3}\,\,.\,\,{2^3} + {2^2} - \frac{9}{2}\,\,.\,\,2 + 7 = \frac{5}{2}\,\,.\,\,16 - \frac{2}{3}\,\,.\,\,8 + 4 - 9 + 7\]

\[ = 40 - \frac{{16}}{3} + 2 = \frac{{110}}{3}\].

Vậy khi \(x = 2\) thì giá trị của đa thức \(T(x)\)  bằng \[\frac{{110}}{3}\].