Điền vào chỗ chấm: Ba đường trung tuyến của một tam giác ...... Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D\) và \(E\) là hai điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BD = DE = EC\). Vẽ đường trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABC\). Trên tia đối của tia \(OA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(OF = OA\).

a) Chứng minh \(D\) là trọng tâm của tam giác \(BAF\); \(E\) là trọng tâm của tam giác \(CAF\).

b) Tia \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\), tia \(FE\) cắt \(AC\) tại \(M\). Chứng minh ba điểm \(M,\,\,O,\,\,N\) thẳng hàng.

Cho \[P(x) = {x^5} + 2{x^3} - {x^2} + 6\]; \[Q(x) =  - 2{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 6\].

Biết \[R(x) = P(x) - Q(x)\]. Đa thức \[R(x)\] là

II. PHẦN TỰ LUẬN

1. Tìm số hữu tỉ \(x\) trong các tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{{x - 1}}{{27}} = \frac{{ - 2}}{{3,6}}\);                                                       b) \(\frac{{27}}{4} = \frac{3}{{{x^2}}}\).

2. Tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) biết:

a) \(\frac{a}{{12}} = \frac{b}{{13}} = \frac{c}{{15}}\) và \(a + b + c = 80\);           b) \(\frac{a}{3} = \frac{b}{2};\,\,\frac{a}{4} = \frac{c}{5}\) và \(a + b - c = 10\).

Cho hai đa thức: \[M(x) = \;3{x^4}--2{x^3} + 6{x^2} - x + 12\];  \[N(x) = {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - 4x + 1\].

a) Tìm đa thức \(T(x)\) biết \(T(x) = \frac{1}{2}M(x) + N(x)\);                     

b) Tính giá trị của đa thức \(T(x)\) khi \(x = 2\).

Cho \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và thỏa mãn \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\).

Tính giá trị biểu thức \(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}\).

Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?