Cho tam giác \(ABC\) trọng tâm \(G\) có \(\widehat {BGC} < 90^\circ \). Điểm \(D\) là giao điểm của \(AG\) với \(BC\). Trên tia \(AD\) lấy điểm \(K\) sao cho \(DK = DA\).

a) Chứng minh \(\Delta ACD = \Delta KBD\).

b) Chứng minh \(AB + AC > 3BC\).

a) Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Mà \(AG\) đi qua điểm \(D\) nên \(AD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) hay \(BD = CD\).

Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta KBD\) có:

\(DK = DA\) (giả thiết)

\(\widehat {ADC} = \widehat {BDK}\) (hai góc đối đỉnh)

\(BD = CD\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta ACD = \Delta KBD\) (c.g.c).

b) Xét \(\Delta GBC\) có \(\widehat {BGC} < 90^\circ \) (giả thiết)

Suy ra \(GD > \frac{1}{2}BC\).           (1)

Mà \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AD\) suy ra \(DG = \frac{1}{3}AD\) hay \(AD = 3DG\).            (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD > \frac{3}{2}BC\).           (3)

Xét \(\Delta ABK\) có \(AB + BK > AK\) (theo bất đẳng thức tam giác)

Mà \(AC = BK\) (vì \(\Delta ACD = \Delta KBD\))

Do đó \(AB + AC > 2AD\)                   (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AB + AC > 2\,\,.\,\,\frac{3}{2}BC > 3BC\) (đpcm).