Cho tam giác \(ABC\) trọng tâm \(G\) có \(\widehat {BGC} < 90^\circ \). Điểm \(D\) là giao điểm của \(AG\) với \(BC\). Trên tia \(AD\) lấy điểm \(K\) sao cho \(DK = DA\).

a) Chứng minh \(\Delta ACD = \Delta KBD\).

b) Chứng minh \(AB + AC > 3BC\).

1. a) \(\frac{2}{9} = \\({x^2} - 2 = \frac{{3\,\,.\,\,6}}{2}\)f\(\frac{3}{{{x^2} - 2}} = \frac{2}{6}\)x =  - 10\)rac{{ - x}}{{45}}\)

\( - x = \frac{{45\,\,.\,\,2}}{9}\)

\( - x = 10\)

\(x =  - 10\).

Vậy .

b)

 \({x^2} - 2 = 9\)

\({x^2} = 11\)

\(x =  \pm \sqrt {11} \).

Vậy \(x =  \pm \sqrt {11} \).

2. a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = \frac{{a + b + c}}{{3 + 5 + 7}} = \frac{{15}}{{15}} = 1\).

Suy ra \(a = 3\,\,.\,\,1 = 3;\,\,b = 5\,\,.\,\,1 = 5;\,\,c = 7\,\,.\,\,1 = 7\).

Do đó \(a = 3;\,\,b = 5;\,\,c = 7\).

b) \(\frac{{a - 1}}{3} = \frac{{b - 2}}{4} = \frac{{c - 1}}{5}\) và \(a + b + c = 38\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{a - 1}}{3} = \frac{{b - 2}}{4} = \frac{{c - 1}}{5} = \frac{{a - 1 + b - 2 + c - 1}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{a + b + c - 2}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{38 - 2}}{{12}} = 3\].

Suy ra \[\frac{{a - 1}}{3} = 3 \Rightarrow a - 1 = 3\,\,.\,\,3 = 9 \Rightarrow a = 10\];

\[\frac{{b - 2}}{4} = 3 \Rightarrow b - 2 = 3\,\,.\,\,4 = 12 \Rightarrow b = 14\];

\[\frac{{c - 1}}{5} = 3 \Rightarrow c - 1 = 3\,\,.\,\,5 = 15 \Rightarrow c = 16\].

Vậy \(a = 10;\,\,b = 14;\,\,c = 16\).

Gọi \(x,\,\,y,\,\,z\) (m) lần lượt là độ dài mỗi loại vải khổ rộng 0,7 m; 0,8 m và 1,4 m \(\left( {0 < x,\,\,y,\,\,z < 5,7} \right)\).

Tổng số vải dài 5,7 m nên ta có \(x + y + z = 5,7\).

Vì ba áo sơ mi như nhau nên số mét vải và khổ vải tỉ lệ nghịch với nhau, ta có:

\(0,7x = 0,8y = 1,4z\) hay \(7x = 8y = 14z\).

Suy ra \(\frac{{7x}}{{56}} = \frac{{8y}}{{56}} = \frac{{14z}}{{56}}\). Do đó \(\frac{x}{8} = \frac{y}{7} = \frac{z}{4}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{8} = \frac{y}{7} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{8 + 7 + 4}} = \frac{{5,7}}{{19}} = 0,3\).

Do đó \(\frac{x}{8} = 0,3 \Rightarrow x = 0,3\,\,.\,\,8 = 2,4\) (thỏa mãn);

\(\frac{y}{7} = 0,3 \Rightarrow y = 0,3\,\,.\,\,7 = 2,1\) (thỏa mãn);

\(\frac{z}{4} = 0,3 \Rightarrow z = 0,3\,\,.\,\,4 = 1,2\) (thỏa mãn).

Vậy độ dài mỗi loại vải khổ rộng 0,7 m; 0,8 m và 1,4 m lần lượt là 2,4 m; 2,1 m và 1,2 m.