Chứng minh rằng nếu \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}\,\,(c + d \ne 0)\) thì \(a = c\) hoặc \(a + b + c + d = 0\).

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.

Cho bốn số \(3;\,\,4;\,\,a;\,\,b\) với \(a,\,\,b \ne 0\) và \(3a = 4b\). Tỉ lệ thức đúng được lập từ bốn số đã cho là

Cho hai đa thức: \[M(x) = \frac{{ - 1}}{4}{x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 5\] và \[N(x) = 2{x^4} + \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^2} - 4.\]

Kết quả của \(N(x) - M(x)\) là

II. PHẦN TỰ LUẬN

1. Tìm số hữu tỉ \(x\) trong các tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{2}{9} = \frac{{ - x}}{{45}}\);                                         b) \(\frac{3}{{{x^2} - 2}} = \frac{2}{6}\).

2. Tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) biết:

a) \(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7}\) và \(a + b + c = 15\);                b) \(\frac{{a - 1}}{3} = \frac{{b - 2}}{4} = \frac{{c - 1}}{5}\) và \(a + b + c = 38\).

Cho hai đa thức: \[U(x) = \;3{x^4}-5{x^3} + {x^2} - \frac{3}{2}x - 6\]; \[V(x) =  - 6{x^2} - 5x + 3\].

a) Tính \(U( - 1)\) và \[V\left( {\frac{1}{2}} \right)\];  

b) Tìm đa thức \(Z(x)\) biết \(Z(x) = 2U(x) + V(x)\).

Cho tam giác \(ABC\) trọng tâm \(G\) có \(\widehat {BGC} < 90^\circ \). Điểm \(D\) là giao điểm của \(AG\) với \(BC\). Trên tia \(AD\) lấy điểm \(K\) sao cho \(DK = DA\).

a) Chứng minh \(\Delta ACD = \Delta KBD\).

b) Chứng minh \(AB + AC > 3BC\).