Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi hàm số \(s\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 9t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 4\) giây là

Vận tốc \(v\) của vật được tính theo công thức: \(v(t) = {s^\prime }(t) = {t^2} - 2t + 9\).

Ta có: \({t^2} - 2t + 9 = {(t - 1)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow v \ge 8\).

Vậy vận tốc nhỏ nhất của vật là \(8(\;m/s)\) đạt được tại thời điểm \(t = 1\) (giây).

Gia tốc của vật bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động

Ta có: \({x^\prime } = 2\pi \cos \pi t \Rightarrow a(t) = {x^{\prime \prime }}(t) =  - 2{\pi ^2}\sin \pi t\)

Vì \( - 1 \le \sin \pi t \le 1 \Leftrightarrow  - 2{\pi ^2} \le  - 2{\pi ^2}\sin \pi t \le 2{\pi ^2} \Leftrightarrow  - 2{\pi ^2} \le a(t) \le 2{\pi ^2}\)

Gia tốc lớn nhất khi \(\sin \pi t =  - 1 \Leftrightarrow \pi t =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{2} + 2k\)

Với \(k = 0 \Rightarrow t =  - \frac{1}{2}(l);k = 1 \Rightarrow t = \frac{3}{2}\)

Vậy tại \(t = \frac{3}{2}\) giây là thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất.

Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là \(S(t)(km)\) là hàm số phụ