Cho hình vuông bên ngoài có cạnh là \(5x - 1\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) và hình chữ nhật bên trong có chiều dài bằng \(3x + 3\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) và chiều rộng bằng \(2x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) như hình bên dưới. Gọi \({S_1}\) là diện tích hình chứ nhật bên trong và \({S_2}\) là diện tích phần tô màu xanh.

Khi đó:

Biết phép chia \(A:B\) với \(A = 2{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 4x + 9\) với \(B = {x^2} + 1\) là phép chia có dư. Biết dư của phép chia có dạng \(ax + b\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{N}} \right)\). Tính \(a + b\).

Tìm giá trị của \(b\) sao cho đa thức \({x^3} - 3{x^2} + 2x - b\) chia hết cho \(x - 3\).

Tìm giá trị của \(m\) để \(\left( {{x^3} - 13x + m} \right)\) chia hết cho \(\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\).

Cho \(P\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + x + 1\) và \(Q\left( x \right) = {x^4} - 1\). Biết rằng \(P\left( x \right) \cdot A\left( x \right) = Q\left( x \right)\). Tính tổng hệ số của đa thức \(A\left( x \right)\).

Biết \(f\left( x \right)\) chia cho \(x - 3\) thì dư 7, chia cho \(x - 2\) thì dư 5. Tính \(f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right)\).

Một công ty sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là \(x\) (nghìn đồng) với \(x < 60\) thì có doanh thu là \( - 5{x^2} + 50x + 15\,\,000\) (nghìn đồng). Khi đó:

Một hình hộp chữ nhật có kích thước là \(2{x^3} + 11x + 17x + 6\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\). Biết đáy là hình chữ nhật có các kích thước \(2x + 1\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và \(x + 3\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Khi đó: