Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau, biết \(AB = AC = AD = 1\). Tìm góc của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Hai đường thẳng vuông góc (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Theo định lí Pythagore, ta tính được \(BC = CD = BD = \sqrt 2 \).
Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,AC,AD\).
Tam giác \(ABC\) có \(MN\) là đường trung bình
nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//AB}\\{MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
Tam giác \(ACD\) có \(NP\) là đường trung bình
nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{NP//CD}\\{NP = \frac{1}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(AMP\) vuông tại \(A\) có:
\(MP = \sqrt {A{M^2} + A{P^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//AB}\\{NP//CD}\end{array} \Rightarrow (AB,CD) = (MN,NP)} \right.\).
Tam giác \(MNP\) có: \(M{N^2} = \frac{1}{4},N{P^2} = \frac{1}{2},M{P^2} = \frac{3}{4}\) hay \(M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}\).
Suy ra tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\).
Vậy hay \(AB \bot CD\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên \(MN//SA \Rightarrow (MN,SC) = (SA,SC)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC}&{ = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }\\{}&{ = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(a\sqrt 2 )}^2}} = 2a.}\end{array}\)
Xét tam giác \(SAC\), ta có:
\(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\left( {{\rm{do }}{a^2} + {{(a\sqrt 3 )}^2} = {{(2a)}^2}} \right)\)
Suy ra tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\).
Vậy
Câu 2
a) \(NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
b) \(MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
c) \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{3}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
\(AN,BN\) lần lượt là các đường trung tuyến của hai tam giác đều \(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) nên \(NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó \(\Delta NAB\) cân tại \(N\) và \(MN \bot AB\).
Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\). Ta có:
\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Đặt \(\overrightarrow {AB} = a,\overrightarrow {AC} = b,\overrightarrow {AD} = c\).
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c\)
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \vec a + \vec b\)
\(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AM} = ( - \vec a + \vec b)\left( { - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c - \vec a \cdot \vec b + {{\vec b}^2} + \vec b \cdot \vec c} \right)\)
Do
Suy ra \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} + {{\vec a}^2} + \frac{1}{2}{{\vec a}^2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(MN\) và \(BC\).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Góc giữa hai đường thẳng \(B'D'\)và \(AA'\)bằng \(60^\circ \).
b) Góc giữa hai đường thẳng \(AC\)và \(B'D'\)bằng \(90^\circ \).
c) Góc giữa hai đường thẳng \(AB\)và \(D'C\)bằng \(45^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) \(SB \bot SD\).
b) \(BD \bot SA\).
c) \(BD \bot SO\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập