Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AB = AD = 2DC = 2a\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\). Các mặt phẳng \(\left( {SIC} \right)\) và \(\left( {SIB} \right)\) cùng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Biết góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính diện tích tam giác \(SBC\).

Ta có hai mặt phẳng \(\left( {SIC} \right)\) và \(\left( {SIB} \right)\) cùng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ \(IK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SIK} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SK\).

Do đó góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(\widehat {SKI} = 60^\circ \).

Diện tích hình thang \(ABCD\): \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = 3{a^2}\).

Diện tích \(\Delta ABI\): \({S_{\Delta ABI}} = \frac{1}{2}AI.AB = {a^2}\).

Diện tích \(\Delta CDI\): \({S_{\Delta CDI}} = \frac{1}{2}.DI.CD = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Do đó diện tích \(\Delta IBC\): \({S_{\Delta IBC}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta ABI}} - {S_{\Delta CDI}} = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Lại có \(BC = \sqrt {{{\left( {AB - CD} \right)}^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 5 \)\( \Rightarrow IK = \frac{{2{S_{\Delta IBC}}}}{{BC}} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\).

Suy ra \(SK = \frac{{IK}}{{\cos 60^\circ }} = \frac{{6a\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow {S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}.SK.BC = 3{a^2}\).