Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). Khi đó:

Giả sử cái bục là hình chóp cụt \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) có \(BE = 2CD = 2\,m\), \(B'E' = 2C'D' = 1,2\,m\), \(OO' = 2\,m\).

Dựng \(B'G//OO'\), suy ra \(BG = \frac{{BE - B'E'}}{2} = \frac{{2 - 1,2}}{2} = 0,4\,m\).

Tam giác \(B'GB\) vuông tại \(G\) \( \Rightarrow BB' = \sqrt {B'{G^2} + B{G^2}}  = \sqrt {{2^2} + 0,{4^2}}  \approx 2,04\,m\).

Kẻ \(B'H\) là đường cao của mặt bên \(BB'C'C\), ta có: \(BH = \frac{{BC - B'C'}}{2} = \frac{{1 - 0,6}}{2} = 0,2\,m\)

\( \Rightarrow B'H = \sqrt {B{{B'}^2} - B{H^2}}  = \sqrt {2,{{04}^2} - 0,{2^2}}  \approx 2,03\,m\).

Diện tích mặt bên \(BB'C'C\)là \({S_1} = \frac{1}{2}(BC + B'C').B'H = \frac{1}{2}(1 + 0,6).2,03 \approx 1,62\,{m^2}\).

Diện tích mặt trên (đáy nhỏ) là \({S_2} = 0,{6^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}.6 \approx 0,94{m^2}\).

Tổng diện tích cần sơn là \(S = 6{S_1} + {S_2} \approx 6.1,62 + 0,94 = 10,66\,{m^2}\).

 Gọi \[I\] là trung điểm \(AC\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {A{B^\prime }C} \right) \cap (ABC) = AC}\\{{\rm{ Trong }}(ABC),BI \bot AC}\\{{\rm{ Trong }}\left( {A{B^\prime }C} \right),{B^\prime }I \bot AC}\end{array} \Rightarrow \left( {\left( {A{B^\prime }C} \right),(ABC)} \right) = \left( {{B^\prime }I,BI} \right) = \widehat {{B^\prime }IB}} \right.\)

Ta có: \(BI = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};B{B^\prime } = \sqrt {{{(a\sqrt 7 )}^2} - {a^2}}  = \sqrt 6 a\)

Xét \(\Delta {B^\prime }BI\) vuông tại \[B\]: $\tan \widehat{B^{\text{'}}IB}=\frac{B{B}^{\text{'}}}{BI}=\frac{\sqrt{6}a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{B^{\text{'}}IB}\approx 73,9^{°}$