Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), \(SO \bot (ABCD)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\). Mặt phẳng \((MBD)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

Vậy \(SO \subset (SMN) \Rightarrow (SMN) \bot (ABCD)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot MN}\\{AD \bot SO}\end{array} \Rightarrow AD \bot (SMN)} \right.\),

mà \(AD \subset (SAD) \Rightarrow (SAD) \bot (SMN)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC//AD}\\{AD \bot (SMN)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow BC \bot (SMN) \Rightarrow BC \bot MN\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBC) \cap (ABCD) = BC}\\{ON \bot BC,SN \bot BC}\\{ON \subset (ABCD),SN \subset (SBC)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = (SN,ON) = \widehat {SNO}\).

Vì \(ON\) là đường trung bình tam giác \(ABC\) nên \(ON = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) có: $\tan \widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SNO}={60}^{°}$

Vậy $\left(\right(SBC),(ABCD\left)\right)=\widehat{SNO}={60}^{°}$

Kẻ đường cao \(DI\) của tam giác \(SCD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot DI}\\{SC \bot BD({\rm{ do }}BD \bot (SAC))}\end{array} \Rightarrow SC \bot (IBD) \Rightarrow SC \bot BI} \right.\).

Mặt khác \(SC = (SBC) \cap (SCD)\) nên \(((SBC),(SCD)) = (ID,IB)\).

Ta có \(IO \bot BD\) và \(O\) là trung điểm \(BD\)

nên \(\Delta IBD\) cân tại \(I\) và \(\widehat {OIB} = \widehat {OID} = \frac{1}{2}\widehat {BID}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = OD\).

Tam giác \(SOC\) có đường cao

\(OI = \frac{{SO \cdot OC}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)

Tam giác \(IOD\) vuông tại \(O\) có:

\(\tan \widehat {OID} = \frac{{OD}}{{OI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{3};\tan \widehat {BID} = \frac{{2\tan \widehat {OID}}}{{1 - {{\tan }^2}\widehat {OID}}} =  - \sqrt {15}  < 0\) nên \(\widehat {BID}\) là góc tù.

Vậy $\left(\right(SBC),(SCD\left)\right)=(ID,IB)={180}^{°}-\widehat{BID}\approx 75,{52}^{°}\text{. }$