Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A,AB = BC = a;AD = 2AB\) và hai mặt bên \((SAB),(SAD)\) cùng vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 \).

Tính tang của góc \(\varphi \) giữa \((SBC)\) và \((ABCD)\).

Vậy \(SO \subset (SMN) \Rightarrow (SMN) \bot (ABCD)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot MN}\\{AD \bot SO}\end{array} \Rightarrow AD \bot (SMN)} \right.\),

mà \(AD \subset (SAD) \Rightarrow (SAD) \bot (SMN)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC//AD}\\{AD \bot (SMN)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow BC \bot (SMN) \Rightarrow BC \bot MN\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBC) \cap (ABCD) = BC}\\{ON \bot BC,SN \bot BC}\\{ON \subset (ABCD),SN \subset (SBC)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = (SN,ON) = \widehat {SNO}\).

Vì \(ON\) là đường trung bình tam giác \(ABC\) nên \(ON = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) có: $\tan \widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SNO}={60}^{°}$

Vậy $\left(\right(SBC),(ABCD\left)\right)=\widehat{SNO}={60}^{°}$

Kẻ đường cao \(DI\) của tam giác \(SCD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot DI}\\{SC \bot BD({\rm{ do }}BD \bot (SAC))}\end{array} \Rightarrow SC \bot (IBD) \Rightarrow SC \bot BI} \right.\).

Mặt khác \(SC = (SBC) \cap (SCD)\) nên \(((SBC),(SCD)) = (ID,IB)\).

Ta có \(IO \bot BD\) và \(O\) là trung điểm \(BD\)

nên \(\Delta IBD\) cân tại \(I\) và \(\widehat {OIB} = \widehat {OID} = \frac{1}{2}\widehat {BID}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = OD\).

Tam giác \(SOC\) có đường cao

\(OI = \frac{{SO \cdot OC}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)

Tam giác \(IOD\) vuông tại \(O\) có:

\(\tan \widehat {OID} = \frac{{OD}}{{OI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{3};\tan \widehat {BID} = \frac{{2\tan \widehat {OID}}}{{1 - {{\tan }^2}\widehat {OID}}} =  - \sqrt {15}  < 0\) nên \(\widehat {BID}\) là góc tù.

Vậy $\left(\right(SBC),(SCD\left)\right)=(ID,IB)={180}^{°}-\widehat{BID}\approx 75,{52}^{°}\text{. }$