Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 6 \). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng ?

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Do tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\), mà \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc với nhau theo giao tuyến \(AB\). Suy ra \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\). Do tam giác \(ABC\) đều nên \(AM \bot BC\)

Gọi \(I\)là trung điểm của \(BM\). Ta có \(HI\)là đường trung bình của tam giác \(ABM\) nên \(HI//AM \Rightarrow HI \bot BC\)

\[\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\]

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có \(HI \bot BC\,\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có \(SI \bot BC\) (do \(BC \bot HI,BC \bot SH\) nên \(BC \bot \left( {SHI} \right)\))

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\)là  \(\widehat {SIH}\). Ta có \(\widehat {SIH} = \alpha \)

Xét  tam giác \(SHI\)vuông tại \(H\):

có \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (do \(SH\)là đường trung tuyến trong tam giác đều \(SAB\) cạnh \(a\) ),

có \(HI = \frac{1}{2}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)(do \(AM\)là đường trung tuyến trong tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\) )

 nên \(\tan \alpha  = \frac{{SH}}{{HI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = 2\).

Câu 5: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 6 \). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng ?

Lời giải

Gọi \(O\) là tâm của \(ABCD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\\BD \bot SA\,\,\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\AO \bot BD,AO \subset \left( {ABCD} \right)\\SO \bot BD,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( {\widehat {(SBD),\,(ABCD)}} \right) = \left( {\widehat {SO,\,AO}} \right) = \widehat {SOA}\)

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(A\): \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SOA} = {60^ \circ }\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).