Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 6 \). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng ?

Gọi \(O\) là tâm của \(ABCD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\\BD \bot SA\,\,\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\AO \bot BD,AO \subset \left( {ABCD} \right)\\SO \bot BD,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( {\widehat {(SBD),\,(ABCD)}} \right) = \left( {\widehat {SO,\,AO}} \right) = \widehat {SOA}\)

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(A\): \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SOA} = {60^ \circ }\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).