Cho lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), biết \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \) và $\left(\left(AC{B}^{\text{'}}\right),\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=60°$. Khi đó:

Vì \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là lăng trụ đứng nên \({A^\prime }A \bot (ABC) \Rightarrow {A^\prime }A \bot AC\).

Mặt khác \(AB \bot AC\).

Vì vậy \(AC \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\), mà \(AC \subset \left( {AC{B^\prime }} \right)\) nên \(\left( {AC{B^\prime }} \right) \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C{C^\prime } = \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)}\\{AC \bot C{C^\prime },BC \bot C{C^\prime }}\\{AC \subset \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right),BC \subset \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right),\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)} \right) = (AC,BC) = \widehat {ACB}\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: $\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ACB}={30}^{°}$

Vậy $\left(\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right),\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\right)=\widehat{ACB}={30}^{°}$

$\begin{array}{l}\text{Ta có: }\left\{\begin{array}{l}AC=\left(AC{B}^{\text{'}}\right)\cap \left(ABC\right)\\ AB\perp AC,A{B}^{\text{'}}\perp AC\\ AB\subset \left(ABC\right),A{B}^{\text{'}}\subset \left(AC{B}^{\text{'}}\right)\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left(\left(AC{B}^{\text{'}}\right),\left(ABC\right)\right)=\left(A{B}^{\text{'}},AB\right)=\widehat{BA{B}^{\text{'}}}={60}^{°}.\end{array}$

Tam giác \(AB{B^\prime }\) vuông tại \(B\) có:

$B{B}^{\text{'}}=AB\tan {60}^{°}=a\sqrt{3}.$

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2a.\)

Tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ:

\(a \cdot a\sqrt 3  + 2a \cdot a\sqrt 3  + a\sqrt 3  \cdot a\sqrt 3  = (3\sqrt 3  + 3){a^2}\)