Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. (tham khảo hình vẽ dưới)

Khi đó số đo góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA \bot (ABCD)}\\{SA \subset (SAB)}\end{array} \Rightarrow (SAB) \bot (ABCD)} \right.\) hay $\left(\right(SAB),(ABCD\left)\right)={90}^{°}$

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (ABCD))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB} \right.\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC = (SBC) \cap (ABCD)}\\{AB \bot BC,SB \bot BC}\\{AB \subset (ABCD),SB \subset (SBC)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}\) (góc \(\widehat {SBA}\) nhọn vì $\widehat{SAB}={90}^{°}$

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}={60}^{°}$

Vậy $\left(\right(SBC),(ABCD\left)\right)=\widehat{SBA}={60}^{°}$

Kẻ đường cao \(AK\) của tam giác \(ABD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AK}\\{BD \bot SA}\end{array} \Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow BD \bot SK} \right.\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBD) \cap (ABCD) = BD}\\{AK \bot BD,SK \bot BD}\\{AK \subset (ABCD),SK \subset (SBD)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow ((SBD),(ABCD)) = (SK,AK) = \widehat {SKA}\) (góc \(\widehat {SKA}\) nhọn vì $\widehat{SAK}={90}^{°}$

Tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên

$\tan \widehat{SKA}=\frac{SA}{AK}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2\Rightarrow \widehat{SKA}\approx 63,{43}^{°}$

Tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {SKA} = \frac{{SA}}{{AK}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2 \Rightarrow \widehat {SKA} \approx 63,{43^^\circ }\).

Vậy $\left(\right(SBD),(ABCD\left)\right)=\widehat{SKA}\simeq 63,{43}^{°}$